¿Es la verdad algo que se puede "decir"?

[Fortaleza]

Si, encantada por mi parte.

[Avicarlos]

Mi duda, apreciado Florencio, es la de si tu mente, mantiene las ideas que expones con tanta claridad, o lo expuesto lo es tras retocarlo hasta la perfección.
De ser el primer caso, ENVIDIO tu mente. Si el segundo aplaudo tu buena labor. Y es así, por cuanto a mí al cerebro me llega un gran embrollo, que me cuesta peinar y alisar. Y justo muchas veces acierto, no por deducciones de tal embrollo, sino por sentimiento, intuición, o vete a saber por que motivo llego a tomar decisiones.

En verdad, aquí te hago saber que estaré atento a tus lecciones diáfanas, procedan del primer, o segundo caso. Y me alegro que tengas buenas oponentes logrando un debate inteligente.

Saludos de Avicarlos

[once]

Queridísimo JuanFlorencio, ante tus palabras no me queda más remedio que ser paciente, además de agradecerte la hospitalidad, me encanta que me laven los" pieses",veo que es un tema recurrente, digo; lo de mis pies, pasos y zancadas. Suelo fijarme más en la posición, es decir la dirección y el punto de vista, en este caso del planteamiento, no me desagrada mirar hacia dentro y entiendo que los enunciados son para desmenuzar, estoy atenta y expectante, y acepto reflexionar,el tema está muy bien encaminado, vamos a andarlo, me alegro de qué Fortaleza y Avicarlos ya hayan decidido recorrer este sendero,así que yo tb espero el guía,un saludito a todos.11

[JuanFlorencio]

Querido Avicarlos,

Me alegra leerte en este lugar, pero acércate porque aquí hay también un asiento reservado para ti.

Normalmente no somos buenos jueces de nosotros mismos pues exageramos ya sea atribuyéndonos más de lo debido o menos de lo debido. Pero si me dieran a es***** preferiría mucho más una voluntad vigorosa y un intelecto mediano, que un intelecto brillante y una voluntad mediana. De ese modo hasta me libraría de tu envidia (con todo respeto). Estoy seguro de que cada uno de nosotros maneja algunos temas con tanta fluidez que cuando los platica parecería que estuviera rezando el Padre Nuestro. En cuanto a lo que he escrito, si alguna parte no me ha costado esfuerzo ahora, es porque me costó esfuerzo en los años pasados.

¿Ves cómo yo no estoy libre de que me lleguen revueltas las ideas? Estoy convencido de que cuando hacemos algo, la sencillez viene al último. Por lo regular producimos primero lo complejo.

Les conté algo de lo que me pasó con las matemáticas. Mañana me gustaría, si no tienen inconveniente, hacer una reflexión acerca de eso. Cuando pregunté si era posible decir la verdad, Fortaleza propuso dos enunciados. El segundo era "2 + 2 = 4", y creí que con eso expresaba la convicción de que las Matemáticas son así en su totalidad. Me parece que lo que he propuesto indica por lo menos que hay algunas "zonas" en su ámbito que son inefables. Lo que hay allí no se puede decir ni pensar, pero eso no implica que no podamos "estar ante ello" y "hacer uso de ello". El nombre de los números que no se pueden expresar como la "razón" -relación o logos- de dos números enteros, es decir, los irracionales, expresa la idea de que son indecibles; pero los irracionales no son lo único indecible que hay en las matemáticas. En la reflexión que seguirá mañana les voy a proponer indagar con qué nos las vemos en las matemáticas. Como sé que este último enunciado no dice nada (está escrito en español, pero no se le puede entender), les agradezco su paciencia. Además... no vayan a pensar que expondré unas conclusiones. Lo que diré serán las palabras de un hombre asombrado.

¡Saludos!
Juan Florencio

[Fortaleza]

Bueno, mi expectativa sería que no te metieras mucho en las matemáticas porque no te podría seguir. 2+2=4 está fácil para mi pero cuando mencionas el cálculo me imagino piedras en el hígado. Si te tienes que meter mucho ni modo, pero va a ser como dices: escrito en español pero no le voy a entender.

[JuanFlorencio]

No recurriré a demostraciones matemáticas en absoluto, Fortaleza.

Como un brevísimo preámbulo diré que nosotros somos esa clase de seres que fundamentalmente separa unas cosas y junta otras (análisis y síntesis, son las palabras que usamos por lo común). Cuando lo hacemos con nuestras manos directamente o por intermedio de nuestros instrumentos lo llamo interacción. Cuando lo hacemos con nuestra mente lo llamo relación.

Pongo juntas en un recipiente una solución ácida y una alcalina. Eso es un ejemplo de una interacción. Ponerlas juntas es a su vez la ocasión de que tenga lugar una serie de interacciones: una reacción química de neutralización entre las soluciones, una liberación de energía térmica que incrementará la temperatura de la mezcla y del recipiente que la contiene, una evolución de vapores...

¿Relación? Considero varias de las posiciones que un planeta ha tenido respecto de alguna referencia que supongo fija a lo largo de un periodo de tiempo (es decir, las reúno en mi mente). Este es un ejemplo de relación. Establezco las premisas de un argumento y propongo una conclusión. He aquí otro ejemplo.

Hasta aquí con el preámbulo. Ahora continuaré con la reflexión que he prometido.

¿Cuáles son los objetos o elementos de nuestro análisis cuando estudiamos matemáticas (exceptuando la geometría por ahora)? Creo que se pueden reducir a las categorías siguientes: números, relaciones y signos.

En algún momento pensé que los números poseían cierta entidad que los hacía independientes de nuestro pensamiento y que permitía que, estando de alguna manera –para mí incomprensible- frente a cada uno de nosotros, todos los aprehendiéramos del mismo modo, de suerte que, en último término, estuviéramos de acuerdo en lo que se puede decir de ellos (aunque a veces con algo de trabajo). Además, pensaba que hay una infinidad de estas entidades. Creo que algo similar era lo que pensaba Platón cuando inventó el mito del Topos Uranos, el lugar de las ideas. Que hagamos operaciones con ellas (es decir, que las relacionemos), fue lo que de pronto me pareció asombroso: Por un lado, tendía a pensar que cada una de esas entidades tenía que ser algo simple y me parecía obvio que si para expresar la mayoría de ellas usamos más de una cifra (signo simple) es porque nuestro sistema arábigo es posicional. Es una imperfección que no expresaría la simplicidad de las presuntas entidades numéricas. Si, si; ahora las llamo presuntas entidades porque, por otro lado, hacer operaciones con ellas implica que son compuestas. Es un grave conflicto. Para eliminarlo tenemos que pensar que, en todo caso, solamente hay un número: la Unidad. Todos los otros serían relaciones. Y su también presunta infinidad no sería otra cosa sino nuestra capacidad para efectuar indefinidamente operaciones con el Uno. Como decía Peano: Tengo uno y le sumo uno, obtengo dos; a éste le sumo uno y obtengo tres; a éste le sumo uno y obtengo cuatro… indefinidamente.


Me parece que Once se refería a los números imaginarios cuando mencionó lo del cuadrado de -1. Creo que más bien quería decir “la raíz cuadrada de -1” (por favor corrígeme si no es así, querida Once). Pero si los “números” diferentes de uno son relaciones, ¿qué podremos decir de los imaginarios? Si bien podemos decir que la invención del microscopio nos permitió descubrir las bacterias, no podemos decir con un significado equivalente que la invención de ciertas ecuaciones cuyas raíces buscábamos nos permitió descubrir el territorio de los números imaginarios. No lo descubrimos, ¡lo inventamos!


En cuanto a las relaciones y los signos:

Cuando nos enseñan a realizar las operaciones aritméticas en el sistema arábigo lo que aprendemos realmente a usar es ese sistema, no alguna propiedad de la Unidad. De no ser porque nuestro sistema es posicional no habría ninguno de esos procedimientos. En el Álgebra y después en el Cálculo nos enfocamos en el estudio de las relaciones que somos capaces de establecer. Así pues, relaciones y signos de estas relaciones son los elementos con los que nos las vemos en las Matemáticas. Esta disciplina es en ese caso una reflexión sobre un ámbito de las capacidades de eso que llamamos inteligencia, como lo es la Lógica. Y así como en la Lógica no hablamos de argumentos verdaderos o falsos, sino de formas argumentales correctas o incorrectas, creo que deberíamos hacer algo parecido en las Matemáticas: Nuestros enunciados matemáticos no serían ni verdaderos ni falsos, sino correctos o incorrectos… aunque tal vez eso no aplique exactamente en la Aritmética… no estoy seguro (como forma, 2+2=4 no es exactamente igual que a+b=c)

¿Qué piensan Ustedes?

Cordialmente
Juan Florencio

[once]

Hola,sí tienes razón ,me refería a la raíz cuadrada de -1,no entiendo demasiado de matemáticas ,pero suelo leerlas, voy aprendiendo conceptos, dicen que son el lenguaje del universo, no sé qué decir;¿las hemos inventado. están ahí?. No creo que sean nada más que una invención de las respuestas lógicas, pero tampoco creo en su divinidad.El pensamiento establece propiedades para las especulaciones de la lógica, luego comprueba que clase de propiedades se pueden aplicar a según que clase de pensamientos, pero el hecho de que las nuevas simetrías o conexiones que VAMOS DESCUBRIENDO, me dicen que no puede ser una invención total ,creo que casi descubrimos o inventamos desde lo incorrecto, si son verdades o no ,creo que son aplicaciones verdaderas, pues gracias a ellas vemos cosas muy grandes y muy pequeñas. En el movimiento, el estudio de las deformaciones choca con nuestra visión de las cosas, ¿cómo vamos a inventar eso?, sólo podemos observarlo. Inventamos la latitud y la longitud,el cuadrado ,él círculo , la línea recta y todas las funciones,pero no creo que inventemos sus movimientos.Qué agradable es leerte.(lo siento,no puedo hacer punto y aparte).11

[Fortaleza]

Encontré en internet una "Breve historia de los números complejos" en donde se menciona algo sobre la simetría que se ganó con los números complejos: "Los números complejos introdujeron generalidad y propiedades de simetría en varias ramas de la geometría, tanto en la euclídea como la no euclídea". También cita estas palabras de Gauss: "Como todos los números imaginables son mayores, menores o iguales a cero, entonces es claro que la raíz cuadrada de un número negativo no puede ser uno de estos números, [...] y esta circuntancia nos lleva al concepto de tales números, que por su naturaleza son imposibles y ordinariamente son llamados imaginarios o números falsos, porque sólo existen en la imaginación". Lo importante para mí en estas palabras es que contrapone los números imaginarios (falsos) a los otros números (verdaderos ¿no?), y Gauss era un genio de las matemáticas ¿o tú crees que estuviera equivocado? Se me hace difícil creerlo.

[JuanFlorencio]

Queridas Once y Fortaleza:

Johann Carl Friedrich Gauss, el príncipe de las matemáticas… Si yo usara sombrero, me lo quitaría de inmediato al escuchar este nombre para mostrar mi respeto.

Yo entiendo que al fragmento que tú, Fortaleza, has traído no se le necesita sujetar al lecho de Procusto para sacarle el significado que obtuviste (y si se necesitara, sería suficiente con pasarle una pluma de ganso por los pies -muy ligeramente-, para que confesara). Además, asumo que no lo trajiste porque quisieras utilizar un argumento de autoridad, pues hace mucho que no se usan. Si, por otra parte, se tratara de una demostración, no necesitaríamos el nombre del autor para aceptarla (quizás solamente para saber qué nombre habría que pronunciar con admiración); pero no se trata de una demostración. No obstante, es muy claro para mí que en este asunto que estamos platicando ahora no hay demostración posible (la naturaleza de los números), pues no cabe ninguna premisa. Por esa razón reconozco que tiene su peso haber traído esas palabras de Friedrich Gauss.

En cuanto al tema que Ustedes dos han mencionado acerca de la simetría introducida por los números imaginarios les aseguro que me ha puesto a pensar. De cualquier manera voy a intentar salir adelante. Ustedes me dirán si lo logro.

¿Qué es “real”? Para responder a esta pregunta recurriré a las nociones de relación e interacción que introduje antes y diré que son reales a) las interacciones, b) los elementos de las interacciones; c) las relaciones y d) los elementos de las relaciones.

Son ejemplos de elementos de las interacciones dos cuerpos cualesquiera. Es un ejemplo de interacción el choque entre esos dos cuerpos. Son elementos de relaciones un par de árboles o un par de medidas de longitud. Es un ejemplo de relación la comparación que hacemos entre el tamaño de uno de los árboles y el tamaño del otro; o la comparación que hacemos entre el tamaño de una de las medidas de longitud y el tamaño de la otra.

Hay algo muy peculiar que ocurre en el ámbito de las relaciones. Vean Ustedes: Los árboles son cosas físicas, pero también son elementos de relaciones (por ejemplo, la relación de tamaño). Por otra parte, una medida de longitud es en sí misma una relación que resulta de comparar el tamaño de un objeto con el tamaño de otro que se toma como patrón. Pero enseguida podemos comparar (es decir, relacionar) una medida con la otra; lo cual significa que las relaciones pueden ser elementos de otras relaciones. A las primeras relaciones las llamo “de orden cero”; a las que se establecen entre relaciones de orden cero, las denomino “de orden 1”, y así sucesivamente. Quiero proponer otro ejemplo para mayor claridad: Los árboles, las piedras, las mesas y otras cosas físicas son objetos que podemos contar y reunir: dos árboles más dos árboles son cuatro árboles; dos piedras más dos piedras son cuatro piedras y dos mesas más dos mesas son cuatro mesas (todas estas son relaciones de orden cero). Ahora generalizamos expresando la relación aritmética 2 + 2 = 2x2; y enseguida proponemos estas otras: 3 + 3 = 2x3; 4 + 4 = 2x4, y otras más (todas estas son relaciones de orden 1). A continuación descubrimos nuevamente la relación que hay en estas relaciones y establecemos otra relación de mayor generalidad: a + a = 2xa (Esta es una relación de orden 2).

Creo que con esto basta por el momento.

Ahora bien, cuando nosotros inventamos un objeto físico (recuerden que esto consiste en juntar o separar cosas), como puede ser un elemento químico o un motor a gasolina (¡qué ejemplos tan dispares! y, sin embargo…) ¿acaso estas nuevas entidades, sólo porque son artificiales, carecen de capacidad para interactuar? ¡Por supuesto que no! Y gracias a esas capacidades de interacción, que antes eran inéditas, podemos crear cosas más sofisticadas todavía (o más simples). Si los metales son útiles, ¿acaso los motores que hacemos con ellos dejan de serlo sólo porque son inventos nuestros? ¡De ninguna manera! ¡De hecho pueden sernos aún más útiles!

En el ámbito de las relaciones ocurre algo análogo (está claro por cierto que la analogía es una relación; piensen dos o tres veces en las implicaciones que esto tiene, por favor); pues con las relaciones que inventamos pueden establecerse nuevas relaciones, como dije antes. El hecho de que nosotros las inventemos no les impone restricciones. Recuerdo ahora un ejemplo que me gusta mucho: Algunos matemáticos negaron el quinto postulado de Euclides y lo sustituyeron por otro. Con ese nuevo postulado y los restantes inventaron sistemas geométricos consistentes: Las geometrías no euclidianas. Más asombroso todavía: La exitosa física relativista recurre a una de estas geometrías en su desarrollo. Es decir, las relaciones que inventamos ni pierden susceptibilidad relacionadora ni pierden utilidad.

Vayamos ahora con los números imaginarios. El “número imaginario” básico es “√-1”, que expresamos también con el símbolo “i”. Observemos bien: ¿No es obvio que simplemente se trata de una operación que no consumamos? ¡La dejamos en suspenso! Pero cuando en alguna ecuación ocurre un caso de esta operación no consumada, nosotros podemos continuar con las otras operaciones que sí nos es posible consumar y quizás realizando operaciones algebraicas típicas hasta lleguemos a algún resultado en el que ya no aparecerá el “número imaginario” (repito: la operación no consumada). Pienso que las simetrías que se obtienen en las matemáticas gracias a que seguimos adelante (arrastrando en nuestro empeño estas operaciones no consumadas) ya estaban ahí en todo caso. En mi opinión, las simetrías observadas no se refieren a las “entidades numéricas”, sino a nuestra capacidad relacionadora.

Luego continuaré con una reflexión acerca del número Uno, porque esto ya se extendió demasiado; Ustedes disculpen.

¡Buen día!
Juan Florencio

[Fortaleza]

Leí otra vez la Breve historia de los números complejos y vi que me equivoqué, porque el que dijo las palabras que cité fue Euler, no Gauss. Pero sirvió que leyera de nuevo porque al final vi un ejemplo que se parece a lo que dice JuanFlorencio.

Hadamard decía que "el camino más corto entre dos verdades en el campo real pasa a través del campo complejo". Un ejemplo de este autor es altamente ilustrativo: el producto de la suma de cuadrados es de nuevo suma de cuadrados, y lo probaba de la siguiente forma:

(a² + b²) (c² + d²) = (a + bi) (a - bi) (c + di) (c - di)
= [(a + bi) (c + di)] [(a - bi) (c - di)]
= (u + vi) (u - vi)
= (u² + v²)

Por el ejemplo que JuanFlorencio pone de las geometrías no euclidianas pareciera que en las matemáticas se inventa un lenguaje o una terminología que luego se aplica en física o en otra ciencia cuando surge la oportunidad, pero qué clase de lenguaje es ese que no tiene significado. Sabía que hay cosas que no tienen nombre, pero nunca había pensado en nombres que no tuvieran cosa (jajaja).