¿Es la verdad algo que se puede "decir"?

[once]

Hola a los dos . Estoy de
acuerdo con lo de la capacidad de relación, pero las simetrías dependen
únicamente de las posibilidades de las entidades numéricas, a una ecuación de
segundo grado ,le caben dos soluciones, ni tres ,ni una, sólo dos y así con los
siguientes grados, buscamos pues verdades y las encontramos cuando nos sirven
para crear objetos, pero tb para adecuar los nº a la realidad.

Bueno, no
busco estar de acuerdo o en desacuerdo, pero en la cama de Procustro hubo un
intento fallido de arrimar la mente a los objetos, Teseo no fue más original en
su venganza así que no es un problema de la analítica en sí misma. Puede que el
lenguaje de los matemáticos no sea exactamente el nuestro.
Tengo entendido que buscar la
proporción entre positivos y negativos no siempre es un problema de imaginación,
es mejor dicho una complejidad, pues se puede dividir una deuda y se puede
encontrar la raíz cuadrada de un negativo, el problema es cómo se dibuja eso
con la geometría, si no tenemos un triángulo podemos calcular sus raíces, sí,
podemos. Voy a intentar exponerlo: entendemos los negativos y devienen reales, entendemos
-1,-2… porqué los pensamos dentro de un parámetro lineal que está dividido por
el 0,que separa positivos de negativos. Para calcular cuadrados y raíces de nº
positivos deberemos movernos dentro del parámetro de los positivos, pero para
hacerlo con nº negativos acudimos a cantidades imaginarias como lo es ½ por
ejemplo,pues es una proporción por debajo del 1. ASIMOV cuenta que un profesor
de sociología le reto a demostrar la raíz cuadrada de una tiza,la cosa no acabo
muy bien ni para el profesor ni para Asimov, aquí lo podéis encontrar: http://www.librosmaravillosos.com/delosnumerosysuhistoria/capitulo08.html
Bueno, el
caso es que imaginamos nº” reales” simples pq andan en una posición sobre
nuestra línea de los sentidos que es simple y apunta en dos direcciones, negativo
y positivo, pero pongamos que nos salimos de la línea y nos posamos en el
plano, hay muchas direcciones ,imaginamos para tener un nº, un punto, pero éste
debe ser un punto bidimensional, pues si a él sólo le asignamos un nº es el
resultado de dos intersecciones, sabemos hacerlo con los planos geográficos
,pero no con los planos geométricos, tendríamos que estirar las figuras a otro
punto del plano y para eso cogemos un nº “real “y otro” imaginario”, pero esas
dos palabras no equivalen a lo qué entendemos en nuestro lenguaje son “matemáticas”.
Son tan reales como imaginarios, pero hay que entenderse de alguna manera.LA
RAÍZ CUADRADA DE -1 = A UN CUARTO DE -1,LA RAÍZ CÚBICA DE -2 = -8i,PERO NO EN
LA LÍNEA!!!!!!!!!! SINO EN EL PLANO, luego es un cuarto de vuelta de 360º empezando
del 1,si el resultado es una distancia en un plano ,pues nos hemos salido de la
línea de los enteros, que es unidimensional, esta necesidad surge a raíz de
ecuaciones cúbicas que pedían a gritos una solución, luego no sé si es la
filosofía la que determina o las matemáticas las que indeterminan ,pero como
soy osada y terca yo no diría que las matemáticas dan soluciones que “le
convienen a la física”ni qué los objetos que no existen tienen nombre, yo digo
que están ahí.11 Ah ! , por
cierto esto tiene implicaciones geopolíticas, los cuánticos aún no se han hecho
con el poder y eso que son los causantes de lo se produce en tecnología,pero en política
seguimos a GAUSS,JAJAJA ES VERDAD, AH! UNA VERDAD!.

http://www.dimensions-math.org/Dim_CH5_ES.htm
http://webdelprofesor.ula.ve/ciencias/lico/Libros/complejos.pdf

[JuanFlorencio]

Estoy encantado al ver cómo se va moviendo esta discusión, queridas Once y Fortaleza.

Antes de continuar con mis comentarios respecto de lo que han dicho, estoy inquieto por saber lo que ha pasado en tu mente, querida Once. También, antes de formular específicamente mi pregunta, deseo subrayar que es signo de apertura el cambiar de posición cuando consideramos y evaluamos nuevos datos. Y no estoy tratando de inducir tu respuesta, sino más bien de mostrar que no hay insidia en la pregunta que estoy por hacer: ¿Has cambiado de opinión respecto de la naturaleza de los números? Habías dicho antes que no creías en su divinidad, y por ello entendí que no creías que fueran ciertas "entidades"; pero ahora te has referido a ellos precisamente con esta palabra:

"...las simetrías dependen únicamente de las posibilidades de las entidades numéricas..."

¿Es así? Estoy ansioso por saber.

¡Buenas noches!
Juan Florencio

[Avicarlos]

Cuan profundo debate, sobre los números. ¡ Pensar que jamás me preocupé de ver más allá de ellos que un instrumento útil para resolver ecuaciones y realizar comparaciones entre grupos homogéneos unos o, heterogéneos otros !.

Sigo pues leyendo este interesante hilo.

Saludos de Avicarlos.

[once]

Cuan profundo debate, sobre los números. ¡ Pensar que jamás me preocupé de ver más allá de ellos que un instrumento útil para resolver ecuaciones y realizar comparaciones entre grupos homogéneos unos o, heterogéneos otros !.


Saludos de Avicarlos.

Sigo pues leyendo este interesante hilo.Pues no leas tanto y mójate ,que te cayas demasiado, te tengo calado mi queridísimo AVICARLOS.No veo nada contradictorio con lo defendido anteriormente, pues que no crea que el número PHI sea un signo divino, no quiere decir que no reconozca que es una entidad, pues tiene unos atributos que se repiten en muchos casos ,de ahí a pensar que el modelo natural de las cosas lo puede explicar todo, no está tan claro, depende con que color de rotulador se remarque los conjuntos y subconjuntos, si Dios juega a los dados, ¿Qué clase de dados tiene Dios?, nunca lo sabremos ,pero lo que sí sabemos es que a partir de la experiencia podemos prever el movimiento de algún sistema de conjuntos, podemos volar como águilas que vuelan y ver más allá de nuestra medida de visión lo grande y lo pequeño. Se imaginaban los antiguos que el pensamiento para entender la Naturaleza iba a ser” irracional”, pues que la física entienda a través de la mates la naturaleza parece ser irracional!, al menos que el proceso del conocimiento para ser indeterminado sea determinado en un conjunto y pase a ser un subconjunto indeterminado ,en un tiempo incierto, Dados ,Caos, Azar ,Devenir, Continuo, probable, lo marcan las mates y la filosofía se ve desbordada con los golpes de errores de la ciencia. ¿es divino el fotón?, pos no lo sé!, yo prefiero pensar que lo divino es que el hombre sea capaz de elaborar con ideas simples otras complejas y las vuelva a simplificar, y pueda jugar a ser DIOS OPERANDO,¿CUÁNTAS CARAS TIENE ESE DADO?,es una paradoja temporal, el conocimiento tiene ese privilegio ,no podemos saberlo todo de una sola vez, si es semejanza o simetría no me impide defender que los signos son movimientos independientes de mí, aunque en una verdad haya sentido común,no se puede entender que el caos no tenga ciertas leyes de ordenamiento, la entropía es toda una contradicción que me da toda la razón, aunque sea “irracional”!jejeje!
Nuestro mundo no tiene ideas imperecederas, cambian y se transforman como el átomo en el sentido contrario, el átomo se degrada, y el conocimiento adquiere grados, la voluntad poco importa, es la gravedad de la experiencia la que exige nuevas preguntas . Admito quejas.11, muchos abrazos desde Valencia, AVÍ ,QUE TE TEMO!! (¿ALGUIEN ME PUEDE DECIR POR QUÉ YA NO PUEDO HACER PUNTO Y APARTE???)

[Avicarlos]

Sigo pues leyendo este interesante hilo.Pues no leas tanto y mójate ,que te cayas demasiado, te tengo calado mi queridísimo AVICARLOS.No veo nada contradictorio con lo defendido anteriormente, pues que no crea que el número PHI sea un signo divino, no quiere decir que no reconozca que es una entidad, pues tiene unos atributos que se repiten en muchos casos ,de ahí a pensar que el modelo natural de las cosas lo puede explicar todo, no está tan claro, depende con que color de rotulador se remarque los conjuntos y subconjuntos, si Dios juega a los dados, ¿Qué clase de dados tiene Dios?, nunca lo sabremos ,pero lo que sí sabemos es que a partir de la experiencia podemos prever el movimiento de algún sistema de conjuntos, podemos volar como águilas que vuelan y ver más allá de nuestra medida de visión lo grande y lo pequeño. Se imaginaban los antiguos que el pensamiento para entender la Naturaleza iba a ser” irracional”, pues que la física entienda a través de la mates la naturaleza parece ser irracional!, al menos que el proceso del conocimiento para ser indeterminado sea determinado en un conjunto y pase a ser un subconjunto indeterminado ,en un tiempo incierto, Dados ,Caos, Azar ,Devenir, Continuo, probable, lo marcan las mates y la filosofía se ve desbordada con los golpes de errores de la ciencia. ¿es divino el fotón?, pos no lo sé!, yo prefiero pensar que lo divino es que el hombre sea capaz de elaborar con ideas simples otras complejas y las vuelva a simplificar, y pueda jugar a ser DIOS OPERANDO,¿CUÁNTAS CARAS TIENE ESE DADO?,es una paradoja temporal, el conocimiento tiene ese privilegio ,no podemos saberlo todo de una sola vez, si es semejanza o simetría no me impide defender que los signos son movimientos independientes de mí, aunque en una verdad haya sentido común,no se puede entender que el caos no tenga ciertas leyes de ordenamiento, la entropía es toda una contradicción que me da toda la razón, aunque sea “irracional”!jejeje!
Nuestro mundo no tiene ideas imperecederas, cambian y se transforman como el átomo en el sentido contrario, el átomo se degrada, y el conocimiento adquiere grados, la voluntad poco importa, es la gravedad de la experiencia la que exige nuevas preguntas . Admito quejas.11, muchos abrazos desde Valencia, AVÍ ,QUE TE TEMO!! (¿ALGUIEN ME PUEDE DECIR POR QUÉ YA NO PUEDO HACER PUNTO Y APARTE???)

Entro exclusivamente por tí Estimadísima ONCE. Primero tre aclaro que ante hilos donde se ponen discursos serios, no me atrevo a entrar, sin tener algo que pueda interesar. Ello hace que se precise discurrir y tiempo tranquilo para pasar a la acción.
Y éste es meollo en que me encuentro. Estoy inmerso en temas como preparar un gráfico para representar la medición de la temperatura mediante los "grados negativos" que nos ilustran a diario los meteorólogos de la Tele. Y otro asunto, Los Pigmeos. Ya dispongo información pero no veo cómo narrarlo ameno.

Hecha la salvedad, te propongo que hagas un intento por si se soluciona parcialmente tu problema del punto y aparte.

Veamos....Ahora supón que esta frase es nueva........Otra fase después del punto y aparte..... Un nuevo asunto......Mañana será otro día y aquí te espero........Si te salen estos varios puntos para separara frases, algo, es algo.......Ya sabes va a doler menos a los ojos que ver un texto muy denso y largo.

Esto de no permitir separaciones de líneas en punto y aparte, ya vi que sucede en facebook. Las veces que lo intenté, se abre un nuevo mensaje. O sea, que si te sirve, bien. Si no te funciona, pues que alguien exponga mejor idea. Un abrazo de Avicarlos.

[JuanFlorencio]

¡Querida Once!,

Si yo tuviera las convicciones que me parece percibir en tus palabras, diría de inmediato: "... Por lo tanto, la verdad es algo que no se puede decir". Pero como antes has dicho otra cosa, creo que caben las alternativas siguientes:

1. Al menos en esto, Once ha cambiado de opinión.
2. Realmente no he entendido todo lo que Once ha dicho.
3. Hay contradicciones o inconsecuencias en el pensamiento de Once.

Descartes decía que si sabemos una verdad, entonces conocemos todo lo que se tiene que saber al respecto (o sea que en eso estaríamos al nivel de Dios). Por tu parte, has dicho anteriormente que la verdad concierne a lo práctico. Ahora reconoces que no lo conocemos todo y mencionas los errores de la ciencia y las ideas que se transforman: Entonces, ¿podemos "decir" la verdad, Once?

Recibo tus abrazos y te saludo
Juan Florencio

--- Mensaje agregado ---

Muy estimado Avicarlos:

Entiendo y respeto tu hábito. Pero si en algún momento ves que nos encaminamos por un camino que creas equivocado, por favor dínoslo. Podríamos ahorrarnos tiempo si nos ayudas de esta manera.

Te envío un saludo afectuoso
Juan Florencio

[once]

Querido Aví,intentaré no condensar, aunque creo que es un problema que me supera, bueno entiendo tus respuestas pero como sabes tanto de mates, ya sabes que soy un poco juguetona y que te quiero mucho
Querido Juan Florencio, voy a analizar tus alternativas. 1. Al menos en esto, Once ha cambiado de opinión.
2. Realmente no he entendido todo lo que Once ha dicho.
3. Hay contradicciones o inconsecuencias en el pensamiento de Once.

1. Al menos en esto, Once ha cambiado de opinión.
No veo en qué he cambiado de opinión, y releyendo, tú propones que nos posicionemos si lo nº y sus relaciones son inventados o los hemos descubierto, no quiero posicionarme. Decir que un conjunto de nº es una entidad no niega ninguna de las dos opciones, pq pienso que los hemos inventado y los hemos descubierto. Hemos inventado sus figuras y hemos descubierto sus relaciones , pues dices que son reales la relaciones e interraciones de las cosas pero no entiendo que sean por nuestra capacidad relacionadora, el mundo funciona con unos nº y no con otros,unas fórmulas son correctas y otras no, igual que en las cosas se dan unas capacidades y otras no para cada cosa, un sistema funcionacon unos nº y no con otros.Lo que me lleva a decir que hay verdades, pero no una única verdad,pero esas pequeñas verdades que vamos descubriendo engendran ellas por sí solas otras verdades que no las niegan ,sino que las desarrollan y eso no lo inventamos,lo observamos con lo que tenemos que inventar otros nºpara observar nuevas verdades.
ENTIENDO UNA ENTIDAD COMO UN CONJUNTO DE SISTEMAS QUE FUNCIONA CON CIERTA INDEPENDENCIA , PERO NUNCA ES ABSOLUTA.
2. Realmente no he entendido todo lo que Once ha dicho.
Eso esfácil, pues no lo digo bien.
3. Hay contradicciones o inconsecuencias en el pensamiento de Once
Por supuesto, hay contradicciones en todo. No voy a ser menos!,lo de las inconsecuencias ,lo tengo que pensar ,lo que sí sé es que tienen consecuencias,una verdad absoluta si existiese debería de ser en un lenguaje matemático y no filosófico ,yo no creo en las verdades absolutas ,pero sí en grandes y pequeñas verdades y están dentro del caos, pues los sistemas que observamos son complejos, no hay nada simple en la naturaleza y ni una sola línea recta, podemos predecir el caos futuro, no!, podemos observar el caos pasado sí!, con absoluta certeza, no!
¿Con qué lo hacemos? -con las matemáticas, con rayos láser ,con la enciclopedia del ADN, con el colisionador de partículas, con los observatorios astronómicos, con la medicina núclear, con un compás………………………………… ¿es todo esto sólo producto de relacionar correctamenteunos nº inventados? Entonces debo de entender que la inteligencia es la única responsable de nuestros descubrimientos, deberíamos pues poder predecir el futuro,pero no podemos, incidimos con los avances, pero no lo podemos predecir,luego los nº dicen sus verdades en su parte también, son deterministas pero nos llevan a la indeterminación, al caos. El caos no tiene orden ,ellas sí. ¿ Hemos inventado el efecto de “el efecto de las mariposas” o lo constatamos?
SÍ PODEMOS DECIR VERDADES.
Bueno me mojo y pienso en voz alta, a ver esa exposición del 1, ,11
Ah! Sobre la contradicción:
And yet, andyet… Negar la sucesión temporal, negar el yo, negar el universo astronómico son desesperaciones aparentes y consuelos secretos. Nuestro destino ( a diferenciade Swedenborg y el infierno de la mitología tibetana) no es espantoso por irreal; es espantoso pq es irreversible y de hierro. El tiempo es la sustancia de la que estoy hecho. El tiempo es un río que me arrebata, pero yo soy el río; es un tigre que me destroza, pero yo soy el tigre; es un fuego que me consume, pero yo soy el fuego.
El mundo desgraciadamente es real; yo desgraciadamente; soy Borges.

[JuanFlorencio]

Me atrevo a decir que, en lo que es relevante para este tema, hay cierta confusión en el texto de Isaac Asimov que proviene de un uso desafortunado de los términos "real" e "imaginario".

Así como puede no ser suficiente decir que dos organismos frente a nosotros son animales, sino que tal vez convenga especificar que uno de ellos es un mamífero y el otro un insecto; tampoco es suficiente con decir que dos cosas bajo nuestra consideración son reales. Es necesario, o por lo menos conveniente, decir qué tipo de realidad tienen. Pero no deseo continuar sin aclarar que al menos en este comentario no usaré la palabra "real" en el sentido que tiene cuando en matemáticas se dice "estos son los números reales", ni "imaginario" en el sentido que tiene en la misma disciplina cuando se dice "este es el conjunto de los números imaginarios". Usaré estas palabras en un sentido más cotidiano, salvo cuando expresamente diga otra cosa.

En uno de mis mensajes anteriores he distinguido cuatro categorías de lo real: las interacciones, las relaciones, los elementos de las interacciones y los elementos de las relaciones. Estas cuatro categorías se reducen a dos ámbitos: el de las interacciones y el de las relaciones. De los números (incluyendo los que los matemáticos llaman "imaginarios") no he dicho que no sean reales, sino que no son entidades; es decir, que no pertenecen al ámbito de la interacción: Los números (¡Todos ellos! aunque la discusión sobre el Uno todavía está pendiente) pertenecen al ámbito de las relaciones.

También señalé que las relaciones tienen la propiedad de que pueden ser los elementos de otras relaciones, de las cuales digo que son, por ese hecho, de un orden superior. Los números naturales, puesto que primariamente (y espero tener la oportunidad de aclarar por qué digo "primariamente", pues creo que por ahora no es oportuno) se refieren a los objetos, son relaciones de orden cero. Los números racionales son relaciones entre números enteros y, por lo tanto, son relaciones de orden 1. De los números imaginarios he dicho que son operaciones no consumadas (son raíces cuadradas que se dejan en suspenso, y no se crea que sustituir su elemento básico por el signo "i" equivale a haberlas consumado), pero eso significa también que son relaciones de mayor orden (aunque ahora no sé cuál puede ser).

Asimismo indiqué que los objetos que inventamos (ya sean entidades o relaciones) no carecen de propiedades: las entidades tienen una interactividad inédita y las relaciones adquieren mayor generalidad. Es sabido que en algunos casos la cruza de especies produce híbridos estériles, pero nada parecido a esto ocurre con las entidades o las relaciones que inventamos.

¿Dependen de nuestro antojo las propiedades de nuestras invenciones? ¡No, en absoluto! Es verdad que nosotros podemos diseñar los inventos de suerte que obtengamos con ellos ciertas propiedades deseables, pero éstas no son el producto de nuestro antojo, sino de la previsión que nos da el conocimiento de los elementos componentes y de sus interacciones. Esas propiedades son tan independientes de nuestros caprichos que con mucha frecuencia vienen acompañadas de otras que son inesperadas e incluso perjudiciales para nosotros (en el caso de las entidades). Creo que a esta independencia de las propiedades respecto de nuestros deseos es lo que Once reconoce con el término "entidad". Como he visto que es usual incluir también la "subsistencia" en el mismo concepto, yo prefiero no utilizar esta palabra para referirme a las relaciones, pues éstas no son subsistentes.

Gracias por tu rectificación Fortaleza, no hay ningún problema: al escuchar el nombre de Leonardo Euler igualmente me quito mi sombrero imaginario. En cuanto al ejemplo que encontraste: Si, efectivamente, ilustra a la perfección lo que quise decir; es una gran ayuda: A veces, para resolver una ecuación algebraica, conviene sumar un cero en uno de los miembros de la ecuación (por ejemplo, sumar "2 - 2" o "ab - ab" o algún otro cero que resulte útil) o multiplicar alguno de los miembros por 1 (por ejemplo, multiplicar por "2/2" o por "ab/ab", o por algún otro 1 que ayude). Algo análogo a esto hace Hadamard en su ejemplo pues multiplica el segundo término de cada binomio por este 1: “1 = –i²”. Lo he copiado del mensaje de Fortaleza para agregarle un par de pasos que estaban implícitos:

(a² + b²) (c² + d²) = (a² + b²_*-i²) (c² + d²_*-i²)
= (a² – [bi]²) (c² – [di]²)
= (a + bi) (a - bi) (c + di) (c - di)
= [(a + bi) (c + di)] [(a - bi) (c - di)]
= (u + vi) (u - vi)
= (u² + v²)

Si efectuáramos las operaciones algebraicas en el tercer paso veríamos que esos términos desaparecen así como se introdujeron; pero, muy inteligentemente, Hadamard primero utiliza las propiedades conmutativa y asociativa de la multiplicación y sólo entonces procede a efectuar las operaciones. Me encanta la elegancia de esta demostración.

El profesor de sociología con el que Asimov discutió dijo estas palabras: “La raíz cuadrada de menos uno. No tiene existencia. Los matemáticos lo llaman imaginario. Pero de alguna manera mística creen que tiene alguna clase de existencia”. Asimov respondió: “La raíz cuadrada de menos uno es tan real como cualquier otro número”. Después dedica el resto de su artículo a hacer plausible la introducción de los números imaginarios y a mostrar su utilidad, es decir, su relacionabilidad (Ustedes perdonen esta palabra tan fea, pero si la repiten una y otra vez quizás pueda llegar a sonarles menos mal) y más adelante dice algo similar a lo que dijo Fortaleza: “Eso de hablar de números imaginarios puede parecerle muy bien… a un matemático. En tanto que a una cantidad definida se le pueden aplicar reglas de operación que no contradigan ninguna otra cosa dentro de la matemática, el matemático se sentirá feliz. En realidad no le interesa qué “significa”.”

Yo me habría puesto del lado de Asimov en la discusión que tuvo con el profesor de sociología y le habría respondido así a ese profesor: “Lo entiendo: Usted todavía no se ha encontrado en ninguna circunstancia en que necesite utilizar los números imaginarios; y le parece que los matemáticos se afanan inútilmente porque piensa que una circunstancia así no se presentará nunca en la vida de nadie. Aun suponiendo que así fuera, la “existencia” que los matemáticos le atribuyen a esos números consiste en que pueden llevar a cabo operaciones con ellos. Sólo tiene que revisar sus textos para cerciorarse de que así es”. La respuesta de Asimov equivale a esto justamente: Podemos realizar operaciones con los números imaginarios como lo hacemos con el resto de los números.

Traigo ahora un fragmento del artículo cuyo vínculo nos compartió Once (el segundo de ellos):

“Durante mucho tiempo, la imposibilidad de encontrar la raíz cuadrada de -1 se consideraba un dogma que no admitía discusión. Durante el Renacimiento, ciertos individuos con espíritu de innovación ¡se atrevieron a romper el tabú! Si nos atrevemos a escribir √-1, entonces también podríamos escribir números como, por ejemplo, 2+ 3√-1, y podemos jugar con estos números de la misma manera formal sin preocuparnos de intentar entender su significado. Estos pioneros trabajaron audazmente en la manera de hacer cálculos con estos números imposibles, de manera prácticamente experimental. Dado que sus cálculos no parecían dar lugar a ninguna contradicción, estos números fueron gradualmente siendo aceptados por los matemáticos, sin ninguna justificación real.”

En mis propias palabras lo diría así: Los matemáticos se dieron cuenta de que era posible, sin incurrir en contradicciones, jugar con la operación no consumada √-1 y obtener resultados interesantes.

Sigue pendiente todavía mi discusión sobre el Uno.


Con afecto,
Juan Florencio

[Avicarlos]

Tu invitación, Juan Florencio, es sugerente, e intentaré contribuir con mis apreciaciones, normalmente enrevesadas.
Veo que se juntan en este hilo conceptos de distintas disciplinas y ello hace más difícil para mí extraer un resultado consecuente.
Verdad que una cosa es nuestro entorno físico, al que acostumbramos a llamar real, y otro el de los números matemáticos inventados por nuestra mente con el fin de comparar objetos reales. Este mundo mental en principio está fuera del entorno físico, por lo cual arbitrariamente podríamos llamar ficticio, o irreal, o imaginario, o el nombre que mejor se adapte que una cosa es lo que se quiere significar y otra que la semántica nos juegue sus trampas para discutir su buena aplicación.

Yo aquí, me pierdo siempre, y tengo que recurrir o bien a similes por reducción al absurdo o aceptar lo más simple por axioma.
En la ecuación que pusiste entre dos términos uno con el factor i al cuadrado y el otro no, por simplificación previa, ya lo doy por demostrado, pues lo que hacemos es multiplicar términos por la unidad cosa que por axioma resulta igual.

Con esto , ya demuestro que no entendí el desarrollo conducente a u^2 + v^2, simplemente por que de entrada permutando las letras a , b, c, d, al cuadrado por otras sin el símbolo del cuadrado y dando el valor del cuadrado de i como la unidad, la ecuación pasa de ecuación a identidad.

Pero juguemos con i. Lo imaginario me induce a imaginar. Y debe ser algo atractivo para muchos. Como no se suele operar mucho con ello, paso a sacar una curiosidad:
Los físicos, en la teoría cuántica, introducen una serie de elementos virtuales, imaginarios y negativos (según su semántica, claro) con lo que no hay más remedio que operar en las ecuaciones con la i.

¿Que te parece si tomamos a la longitud por L*i ?
Según ello, esta longitud es imaginaria, pero ¿Y la superficie?

Sería L*i * L*i = L^2 Yo ya no veo imaginario a este resultado, sino del todo real. Pero sigamos con el volumen.

Sería L^2 * L*i = L^3 *i . Toma ya. De nuevo es un volumen imaginario. Lo que preveo que a más dimensiones, las pares me darán positivo real y las nones imaginario. Y con ello ya tienen los físicos algo con lo que explicar las partículas virtuales que aparecen y desaparecen del Espacio, aportando y recuperando energía a otras para seguir con la validez de la conservación.

Y siguiendo con lo que describes, veo al mundo imaginario infinito. Los números imaginarios por ende serían asimismo infinitos aunque nos complicáramos mucho en darles nombre.

Suponiendo que el real, es finito, el imaginario lo supera pues a lo real añadimos la voluntad. Y si el real es finito, su numeración será algo más fácil de nominar. En ambos casos lo imaginable supera a lo real y no ocupa lugar, o si lo ocupa es un lugar imaginario.
Lo dejo aquí que me repito. Y ya dejaste pendiente el UNO.

Saludos de Avicarlos.

[Fortaleza]

Yo puedo completar los detalles de la demostración de Hadamard. No sabía que el primer paso era una multiplicación por 1. Era tan simple que no se me hubiera ocurrido nunca. Gracias a Juan Florencio por aclararlo. Pero de ahí en adelante no está difícil. A ver qué les parece:

Se tiene que demostrar que

(a² + b²) (c² + d²) = (u² + v²)

Demostración:

(a² + b²) (c² + d²) = (a² + b²_*-i²) (c² + d²_*-i²)
= (a² – [bi]²) (c² – [di]²)
= (a + bi) (a - bi) (c + di) (c - di) ................................. Diferencia de cuadrados
= [(a + bi) (c + di)] [(a - bi) (c - di)] ............................ Propiedad conmutativa
= [ac + adi + bci + bdi²] [ac – adi - bci + bdi²] ..............Propiedad distributiva
= [ac + adi + bci - bd] [ac – adi - bci - bd] ....................Definición de i (i² = -1)
= [(ac – bd) + (ad + bc)i ] [(ac – bd) - (ad + bc)i] .........Propiedad asociativa

Ahora definimos

u = (ac – bd)
v = (ad + bc)

Entonces

= [(ac – bd) + (ad + bc)i ] [(ac – bd) - (ad + bc)i] .........Sustituyendo aquí las variables definidas:
= (u + vi) (u - vi)
= u² – uvi + uvi – v²i² .................................................P ropiedad distributiva
= u² – v²i² .................................................. ...............Suma algebraica
= u² + v² .................................................. .................Definición de i (i² = -1)

Queda demostrado

Avicarlos, me despertaste la curiosidad, ¿qué es eso de las partículas virtuales que aparecen y desaparecen?