¿ Es el principio de mínima acción una tautología ?

**kinetico** · 20/10/2011, 15:13

En mecánica clásica, aparentemente es posible obtener el principio de mínima acción a partir de la aceleración de una partícula.

Si consideramos un campo de fuerzas (uniforme o no uniforme) en el que la aceleración $\vec{a}_A$ de una partícula A es constante, entonces

$\vec{a}_A = \vec{a}_A$

$\int \vec{a}_A \cdot d\vec{r}_A = \int \vec{a}_A \cdot d\vec{r}_A$

$\int \vec{a}_A \cdot d\vec{r}_A = \Delta \; {\textstyle \frac{1}{2}}\vec{v}_A^{\;2}$

$\int \vec{a}_A \cdot d\vec{r}_A = \Delta \; \; \vec{a}_A \cdot \vec{r}_A$

$\Delta \; {\textstyle \frac{1}{2}}\vec{v}_A^{\;2} = \Delta \; \; \vec{a}_A \cdot \vec{r}_A$

$\Delta \; {\textstyle \frac{1}{2}}\vec{v}_A^{\;2} - \Delta \; \; \vec{a}_A \cdot \vec{r}_A = 0$

$m_A \left( \Delta \; {\textstyle \frac{1}{2}}\vec{v}_A^{\;2} - \Delta \; \; \vec{a}_A \cdot \vec{r}_A \right) = 0$

$\Delta \; T_A - \Delta \; V_A = 0$

$\left( T_{Af} - T_{Ai} \right) - \left( V_{Af} - V_{Ai} \right) = 0$

$\left( T_{Af} - V_{Af} \right) - \left( T_{Ai} - V_{Ai} \right) = 0$

$\left(\; L_{Af} \;\right) - \left(\; L_{Ai} \;\right) = 0$

$\Delta \; L_A = 0$

$\int L_A \; dt= 0$

Si $\vec{a}_A$ no es constante pero $\vec{a}_A$ es función de $\vec{r}_A$ entonces se obtiene el mismo resultado, aun si la segunda ley de Newton no fuese válida.

**kinetico** · 28/10/2011, 08:39

Reformulación:

En mecánica clásica, si consideramos un campo de fuerzas (uniforme o no uniforme) en el que la aceleración $\vec{a}_A$ de una partícula A es constante, entonces

$\vec{a}_A - \, \vec{a}_A = 0$

$\left( \vec{a}_A - \, \vec{a}_A \right) \cdot \delta \vec{r}_A = 0$

$\int_{t_{1}}^{t_{2}} \left( \vec{a}_A - \, \vec{a}_A \right) \cdot \delta \vec{r}_A \; \, dt = 0$

$\delta \int_{t_{1}}^{t_{2}} \left( {\textstyle \frac{1}{2}} \; \vec{v}_A^{\;2} \, + \, \vec{a}_A^{\vphantom{^{\;2}}} \cdot \vec{r}_A^{\vphantom{^{\;2}}} \right) \, dt = 0$

$m_A^{\vphantom{^{\;2}}} \; \delta \int_{t_{1}}^{t_{2}} \left( {\textstyle \frac{1}{2}} \; \vec{v}_A^{\;2} \, + \, \vec{a}_A^{\vphantom{^{\;2}}} \cdot \vec{r}_A^{\vphantom{^{\;2}}} \right) \, dt = 0$

$\delta \int_{t_{1}}^{t_{2}} \left( T_A - \, V_A \right) \, dt = 0$

$\delta \int_{t_{1}}^{t_{2}} L_A \; \, dt = 0$

donde:

$T_A = {\textstyle \frac{1}{2}} \; m_A^{\vphantom{^{\;2}}}\vec{v}_A^{\;2}$

$V_A = - \; m_A^{\vphantom{^{\;2}}} \; \vec{a}_A^{\vphantom{^{\;2}}} \cdot \vec{r}_A^{\vphantom{^{\;2}}}$

Si $\vec{a}_A$ no es constante pero $\vec{a}_A$ es función de $\vec{r}_A$ entonces se obtiene el mismo resultado, aun si la segunda ley de Newton no fuese válida. ${\hphantom{aat}}$

**kinetico** · 12/12/2011, 14:18

Principio de D'Alembert

En mecánica clásica, si consideramos una simple partícula de masa $m$ , entonces

$\vec{a} - \vec{a} = 0 \; \; \; \; \; [1]$

$m \: \vec{a} - m \: \vec{a} = 0 \; \; \; \; \; [2]$

$(m \: \vec{a} - m \: \vec{a}) \cdot \delta \vec{r} = 0 \; \; \; \; \; [3]$

La ecuación [3] es el Principio de D'Alembert para una simple partícula.

Ahora, como $\vec{a}=\vec{F} / m$ , entonces

$(\vec{F} - m \: \vec{a}) \cdot \delta \vec{r} = 0$

donde:

$\vec{F} = \sum \vec{F} = \sum \vec{F}_{reales} + \sum \vec{F}_{ficticias}$

**kinetico** · 12/12/2011, 14:23

Principio de Hamilton

A partir del Principio de D'Alembert (post #3 ecuación [3]), se obtiene

$(m \: \vec{a} - m \: \vec{a}) \cdot \delta \vec{r} = 0 \; \; \; \; \; [3]$

$\int_{t_{1}}^{t_{2}} (m \: \vec{a} - m \: \vec{a}) \cdot \delta \vec{r} \; \, dt= 0 \; \; \; \; \; [4]$

$\delta \int_{t_{1}}^{t_{2}} {\textstyle \frac{1}{2}} \: m \: v^2 \: dt \; + \int_{t_{1}}^{t_{2}} m \: \vec{a} \cdot \delta \vec{r} \; \, dt = 0 \; \; \; \; \; [5]$

La ecuación [5] es el Principio de Hamilton para una simple partícula.

Ahora, como $\vec{a}=\vec{F} / m$ , entonces

$\delta \int_{t_{1}}^{t_{2}} {\textstyle \frac{1}{2}} \: m \: v^2 \: dt \; + \int_{t_{1}}^{t_{2}} \vec{F} \cdot \delta \vec{r} \; \, dt = 0$

Si $- \delta V = \vec{F} \cdot \delta \vec{r}$ , y como $T = {\textstyle \frac{1}{2}} \: m \: v^2$ , entonces

$\delta \int_{t_{1}}^{t_{2}} T \; \, dt \: - \delta \int_{t_{1}}^{t_{2}} V \; \, dt = 0$

o bien

$\delta \int_{t_{1}}^{t_{2}} (T \: - V) \; \, dt = 0$

Como $L = T \: - V$ , finalmente se deduce

$\delta \int_{t_{1}}^{t_{2}} L \; \, dt = 0$

**kinetico** · 13/12/2011, 14:09

Ecuaciones de Euler-Lagrange

A partir del Principio de D'Alembert (post #3 ecuación [3]), se obtiene

$(m \: \vec{a} - m \: \vec{a}) \cdot \delta \vec{r} = 0 \; \; \; \; \; [3]$

$\ldots$

$\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial \, {\textstyle \frac{1}{2}} \: m \: v^2}{\partial \, \dot{q}_j} \right) - \frac{\partial \, {\textstyle \frac{1}{2}} \: m \: v^2}{\partial \, {q}_j} = m \: \vec{a} \cdot \frac{\partial \, \vec{r}}{\partial \, {q}_j} \; \; \; \; \; [5]$

Las ecuaciones [5] son las Ecuaciones de Euler-Lagrange para una simple partícula.

Ahora, como $\vec{a}=\vec{F} / m$ y $Q_j=\vec{F} \cdot (\partial \, \vec{r} / \partial \, {q}_j)$ , entonces

$\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial \, {\textstyle \frac{1}{2}} \: m \: v^2}{\partial \, \dot{q}_j} \right) - \frac{\partial \, {\textstyle \frac{1}{2}} \: m \: v^2}{\partial \, {q}_j} = Q_j$

Si $(- \: \partial \, V / \partial \, {q}_j) = Q_j$ , como $T = {\textstyle \frac{1}{2}} \: m \: v^2$ y $(\partial \, V / \partial \, \dot{q}_j) = 0$ , entonces

$\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial \, (T \: - V)}{\partial \, \dot{q}_j} \right) - \frac{\partial \, (T \: - V)}{\partial \, {q}_j} = 0$

Como $L = T \: - V$ , finalmente se deduce

$\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial \, L}{\partial \, \dot{q}_j} \right) - \frac{\partial \, L}{\partial \, {q}_j} = 0$