Algebra : ¿ qué es, y para qué sirve ?

[Nicasio]

Gracias por tu aportación, Carlos.
Has explicado de una forma muy intuitiva qué son las estructuras algebraicas.
A partir de aquí podriamos hablar de esas estructuras: anillos, cuerpos, grupos, espacios vectoriales,etc,etc..

[Carlos Alberto Carcagno]

Hola:

Gracias por tu comentario. Es un dilema para mí contestar un elogio o no. Si lo hago públicamente, en este lugar, le podría parecer a alguien que quiero figurar y dejar que siempre al final quede mi post. Si lo hago por correo privado, pudiera parecerle a otros que no soy una persona educada o agradecida.

No esperen que siempre pueda hacer algún aporte intuitivo y claro, pues no existe nadie que tenga claro todo. Muchas veces uno apenas maneja algunas fórmulas sin saber realmente de qué se trata. Pero siempre trataré de hacer lo que Ortega y Gasset denominaba la cortesía del filósofo: ser claro.

Los comentarios previos son todos correctos y muchos de ellos, al hablar de variables numéricas, hacen referencia al comienzo del álgebra. pero ¿qué es un número? Es un elemento perteneciente a un conjunto que tiene estructura de sistema numérico. ¿Qué es un sistema numérico?

Si tenemos un conjunto de elementos y dos operaciones binarias denominadas suma (adición) y producto (multiplicación) (En principio, una operación binaria es un objeto matemático que relaciona dos elementos de un conjunto -de ahí binaria- y los asocia con un tercero. Este objeto debe agotar la totalidad de los elementos en todas sus combinaciones posibles; como suele decirse, la operación debe estar definida para todos los elementos del conjunto. Se presentan casos extraños que es menester resolver de alguna manera, pero esto complicaría inútilmente la explicación para los que no tienen conocimientos previos), se dice que el conjunto es un sistema numérico si ambas operaciones son asociativas y conmutativas y si la multiplicación o producto es distributiva con respecto a la suma o adición.
Por asociativa se entiende que si tenemos tres elementos a ser sumados, por ejemplo, da lo mismo sumar los dos primeros y luego el tercero, que sumar los dos últimos y luego el primero, en ambos casos se da el mismo resultado. Por conmutativa se entiende que la suma a+b es igual a la suma b+a (o el producto, para ambos casos).

Hay operaciones definidas en conjuntos de números, que no son asociativas. Una muy sencilla de entender es: la operación "promedio de a y b", en nuestra notación, pr (a, b), y que definimos pr (a, b) = (a + b) / 2. Veamos:

(utilizaremos otra notación para hacer más fácil la escritura) pr (a, b) es equivalente a "a pr b")

¿(a pr b) pr c = a pr (b pr c)?

Con un contraejemplo basta: ¿(7 pr 9) pr 4 = 7 pr (9 pr 4)?

Primer miembro: 7 + 9 = 16, 16/2 = 8; 8 + 4 = 12, 12/ 2 = 6

Segundo miembro: 9 + 4 = 13, 13/2 = 6,5; 7 + 6,5 = 13,5, 13,5 /2 = 6,75

6 no es igual a 6,75; la operación no es asociativa. O sea, un conjunto de números naturales con esta operación y alguna otra no constituye un sistema numérico, pues una de las operaciones no es asociativa, como pide la definición. Así, como hay conjuntos que contienen "números" familiares como 7, 9 y 4, y pueden ser definidas operaciones que no los hacen sistemas numéricos, también existen conjuntos de objetos que no son "números familiares" y, sin embargo, las operaciones definidas entre ellos los transforman en sistemas numéricos y, por lo tanto, sus elementos son números, aunque esos números sean cosas tan "raras" como ciertos tipos de movimientos de figuras regulares u otras cosas.

En esto se ha transformado la inocente manipulación de un dato desconocido en una cuenta aritmética ordinaria.

Pero Emeric tiene en este caso absoluta razón al decir que esto no afecta al hombre ordinario. Puede vivir tranquilamente ignorando todo esto sin ninguna desventaja para una existencia humana; no le impide casarse, tener hijos, trabajar en algún emprendimiento no técnico. Lo afecta indirectamente en todo el confort y en todo lo que puede destruir su paz: tanto los elementos que hacen más placentera la vida moderna (para quienes pueden pagarlos), como los instrumentos de destrucción que pueden entrar por una ventana y volar un edificio entero, se construyeron gracias al álgebra y otras ramas de la matemática.

La visión del universo y la filosofía humana se han modificado para algunas mentes a raíz de estos progresos en juegos mentales (verdaderamente son eso, pero los juegos muchas veces se pueden aplicar a cosas concretas que nos pueden hacer felices o infelices)

Como en el caso de Esopo, donde la lengua era la mejor y la peor cosa del mundo, aquí, también, el álgebra y cualquier otra cosa pueden ser lo más preciado o lo más despreciable de todo cuanto hay en el mercado. Los matemáticos sienten el deseo vehemente e irresistible de hacer matemáticas, sin importarles en qué se aplicarán sus descubrimientos, para bien o para mal del hombre. Pero no los juzguen. Un simple jardinero puede aguzar un palo para hincarlo en la tierra y enderezar un retoño. Otro hombre puede tomar ese palo y clavarlo en el pecho de un congénere.

Saludos.

[Emeric]

Gracias, Carlos, muy instructivo.