rectificación de la circumferencia

**carmen_rw7** · 13/10/2006, 11:01

haber si alguien me puede responder, ...(para aquellos que han estudiado dibujo técnico..)
¿cuales son los métodos para hacer la rectificación de una circumferencia?, ¿ cual es el método más exacto?? y que diferencia hay entre estos??

**Carlos Alberto Carcagno** · 13/10/2006, 11:46

Hola Carmen:

No conozco todos los métodos ni sé cuál es el más preciso. Te doy uno que creo puede ser bastante aproximado:

Tienes una circunferencia y su radio. Levanta un cuadrado con el radio como lado, luego traza la diagonal del cuadrado y cuadruplícala. Tendrás el arco de un ángulo de 4 x raíz cuadrada de 2 radianes, aproximadamente, 324,1138738... grados sexagesimales. Para 360º te falta un ángulo de 35,88612618... grados sexagesimales, casi 36º. Si construyes geométricamente con regla y compás este ángulo de 36º y dibujas su tangente, ésta será una aproximación al arco del ángulo que se conoce como aproximación de Snell. Habría que agregar esta tangente al arco anterior. La aproximación de Snell es muy precisa para ángulos pequeños. En el límite de máxima precisión, el arco difiere en un infinitésimo de quinto orden. Para ángulos mayores, en el límite opuesto, equivale a calcular pi como igual a 3. Observa que los errores van en sentidos opuestos; por un lado, construimos un ángulo algo mayor que el que falta y, por otro, el valor de la tangente de este ángulo es inferior a su arco. Debe haber un ángulo óptimo cuyo valor ahora no puedo calcular. Por comodidad, puedes probar con el de 36º. Si quieres trabajar más, construye la bisectriz de la bisectriz de la bisectriz del ángulo de 36º, o sea 4,5º y dibuja su tangente. Luego la multiplicas por 8 y la sumas al arco original, que es teóricamente exacto (todo el error está en el cálculo del arco del último ángulo). Si encuentras en algún sitio la descripción teórica de la aproximación de Snell y el cálculo del error para cualquier ángulo adecuado al método, podrás determinar si es más preciso el dibujo con un ángulo de 36º o con el de 4º 30' y qué ángulo construible con regla y compás es el que proporciona menos error. Yo te estoy contestando de memoria y no tengo a mano detalles teóricos.

Saludos.

Carlos

**Carlos Alberto Carcagno** · 16/10/2006, 09:17

Hola:

Cometí un error. La aproximación de Snell (Snellius) utiliza una tangente, pero no ta tangente trigonométrica. Para el ángulo en cuestión se prolonga el diámetro que coincide con uno de los lados en una medida igual al radio. Desde la punta de este segmento exterior igual al radio se traza una recta que pase por el punto de la circunferencia que es común al extremo del otro lado del ángulo hasta cortar la tangente en el otro punto común al otro lado del ángulo. Para un ángulo de 90º, el error está en el orden del 4%; si fuera la tangente trigonométrica, para 90º ésta tendría una longitud infinita.

Lamento no tener una ilustración para ser más claro.

Saludos.

carlos

**Darck_mario** · 25/10/2006, 17:07

Iniciado por carmen_rw7

haber si alguien me puede responder, ...(para aquellos que han estudiado dibujo técnico..)
¿cuales son los métodos para hacer la rectificación de una circumferencia?, ¿ cual es el método más exacto?? y que diferencia hay entre estos??

No se puede rectificar ninguna circunferencia, a menos que se demuestre que pi es numero racional o algebraico, lo cual no creo que se verifique nunca.

**Carlos Alberto Carcagno** · 25/10/2006, 19:40

Hola:

Se entiende que es una rectificación aproximada. El cálculo infinitesimal lo hace continuamente, son resultados que se pueden calcular con el error que se desee y sirva en la práctica.

Matemáticamente es imposible calcular el valor preciso y real. Pero las aproximaciones son inmensamente útiles. Toda la tecnología actual se basa en ellas. Cuando un ingeniero calcula el desarrollo o el recorrido lineal de un eje cilíndrico que mueve una correa de un mecanismo, utiliza un pi con cuatro o cinco decimales. Las máquinas herramientas trabajan a la milésima de milímetro y a esa escala no tiene sentido un pi con 60 mil decimales.

Saludos.

**Carlos Alberto Carcagno** · 31/10/2006, 14:14

Hola:

Estuve haciendo un poco de números. Para el ángulo de 36º sexagesimales, la aproximación de Snell para el arco vale 0,627748342....

Tenemos que 4 veces raíz cuadrada de dos es, aproximadamente, 5,656854249...

Si sumamos ambos valores, da: 6,284602591... y dos veces pi, la longitud de la circunferencia para el radio unitario es: 6,283185307... Tenemos un error relativo en exceso del 0,0225568% o un pi equivalente a 3,142301296.

Saludos.

Carlos

**Carlos Alberto Carcagno** · 31/10/2006, 15:15

Hola otra vez:

Hice las cuentas para 9º. La aproximación de Snell para 9º multiplicada 4 veces para obtener la aproximación al arco de 36º es de 0,628103187... que, sumado a 4 veces raíz cuadrada de 2, da 6,284311138; o sea, un pi equivalente a 3,142155569..., con un error relativo del 0,0179182% en exceso.

Pero para 4,5º el valor equivalente de pi es 3,142478718..., con lo que el error comienza a aumentar.

Esto se torna muy interesante. ¿Cuál es el ángulo ideal que sea construible euclidianamente y que de el error menor posible para la rectificación de la circunferencia por este método?

Snell calculó que el valor del arco de un ángulo está acotado por dos valores que son [3 sen (x)]/ [2 + cos (x) ] y [ 2 sen (x) + tan (x) ] / 3

Saludos.

**Carlos Alberto Carcagno** · 31/10/2006, 16:42

Hola:

Se habla mucho acerca de los decimales de pi que se han calculado (millones), pero pocas personas tienen una idea de lo que la cantidad de decimales significa en la realidad.

Una unidad astronómica (U.A.) es la distancia media que separa el centro de la Tierra del centro del Sol. Hoy se la mide en metros según la siguiente cantidad: 149.597.870.691 m +/- 30 m. Aunque la órbita de la Tierra es elíptica, su excentricidad es muy pequeña, por lo que puede aproximarse a una circunferencia sin errores muy grandes. Así, su arco total vale tanto como 940 millones de kilómetros. Si utilizáramos un pi aproximado con 16 decimales exactos, el error cometido debido a la falta de los infinitos decimales que completan el verdadero valor de pi sería del espesor de un cabello humano ¡en 940 millones de kilómetros!

Unos 60 decimales podrían servir para apreciar el tamaño del universo visible con un error indetectable con microscopio electrónico.

Pero semejante precisión no podría ser utilizada nunca. Generalmente se trabaja con dos, tres y hasta cuatro decimales. Colocar más de ellos implicaría tomar en cuenta tantas cosas insignificantes que muy pronto las fórmulas serían inentendibles e incalculables. Verdaderamente, no se conocerían métodos matemáticos para resolverlas. Imaginen que quiero calcular un problema de física con la aceleración media de la gravedad con 20 decimales. Si muevo mi brazo derecho y estiro el dedo índice para señalar algo, habré cambiado el centro de gravedad de la Tierra y con ello, los últimos decimales de la aceleración mencionada, quizás la última mitad de decimales.

Saludos.

Carlos

**Carlos Alberto Carcagno** · 12/11/2006, 22:17

Hola:

En el adjunto hay un poco de números para el que le guste.

Hay un método muy preciso que creó Ramanuján en 1914. Él dio un valor para pi que es igual a 3,14159265258, con un error de 0,00032 partes por millón. Esto es equivalente a decir que en una circunferencia cuyo arco sea de un kilómetro el error cometido será de 0,00032 milímetros. ¡Casi un tercio de micra!

La fórmula es muy simple: es la raíz cuarta de [81 + (361/22)]. La forma de construcción es tomar un segmento de recta y transportar 82 radios y luego 361/22 radios. Se marcará un radio desde uno de los dos extremos. Encontrada la mitad del segmento total (con compás, por ejemplo), se centrará el compás en esa mitad y se lo abrirá hasta que coincida con uno de sus bordes. Luego se traza la circunferencia con la abertura obtenida. La perpendicular al segmento levantada en la marca correspondiente a un radio cortará la circunferencia en un punto. El segmento comprendido entre este punto y la marca de origen es igual a la raíz cuadrada de 81 + 361/22. Tomado este segmento, se le adicionará otra vez un radio y se encontrará la mitad. Dibujada otra circunferencia y repetida la construcción de la perpendicular, se tendrá la raíz cuadrada de la raíz cuadrada de 81 + 361/22. Duplicada ésta, se tendrá una muy buena rectificación de la circunferencia y una paciencia de monje tibetano.

Saludos.

Carlos