El metodo racional

[Nicasio]

Expongo aquí los fundamentos basicos que deberían conocerse del metodo racional:

1. La matemática es una ciencia deductiva. Pretende demostrar todas sus proposiciones a partir de otras conocidas anteriormente La validez de éstos tiene que comprobarse relacionándolas con otras ya demostradas anteriormente. Al proceder de esta manera se plantea una cadena indefinida de razonamientos, cuyo primer eslabón quedaría siempre sin justificar. Para servir de fundamento a la matemática se han establecido una serie de proposiciones sencillas que se admiten como ciertas sin demostración y que se denominan postulados ó axiomas. Ejemplos: la parte es menos que el todo, dos cosas iguales a una tercer son iguales entre sí, etc.

2. TEOREMAS
Es una proposición que se demuestra.
En todo teorema se distinguen tres partes:
Hipótesis: Conjunto de proposiciones cuya validez se conoce expresamente.
Tesis: Proposición que se trata de demostrar.
Demostración :Cadena de argumentos legítimos que enlazan la tesis con principios ciertos y verdaderos (la hipótesis)

+--------------+
! Hipotesis !
+--------------+
!
!
!
+--------------+
! demostración !
+--------------+
!
!
!
+--------------+
! Tesis !
+--------------+

Lema es un teorema que sirve de base para demostrar otro mas importante

3. CLASES DE TEOREMAS.

Un teorema es reciproco de otro, llamado directo, cuando la tesis de uno es la hipótesis del otro y viceversa.
Un teorema es contrario de otro cuando la tesis e hipótesis del primero son, respectivamente, la negación de la tesis e hipótesis del segundo.
Todo teorema tiene su contrario, y todo contrario tiene su recíproco, qu coinciden. Este teorema se llama contrarecíproco.

Graficamente

Teorma directo

+--------------+
! Hipotesis A !
+--------------+
!
!
!
+--------------+
! demostración !
+--------------+
!
!
!
+--------------+
! Tesis B !
+--------------+

Teorema contrario

+--------------+
!Hipotesis no A !
+--------------+
!
!
!
+--------------+
! demostración !
+--------------+
!
!
!
+--------------+
! Tesis no B !
+--------------+
Teorema reciproco

+--------------+
! Hipotesis B !
+--------------+
!
!
!
+--------------+
! demostración !
+--------------+
!
!
!
+--------------+
! Tesis A !
+--------------+

Teorma contrareciproco

+--------------+
! Hipotesis no B !
+--------------+
!
!
!
+--------------+
! demostración !
+--------------+
!
!
!
+--------------+
! Tesis no A !
+--------------+


Los teoremas contrarios y recíprocos son independientes de su directo. De la falsedad de éste no se deduce la de aquellos.
El directo y el contrarecíproco son equivalentes, la verdad ó falsedad del uno trae como consecuencia la del otro.

4. Coralario ó consecuencia. Es una proposición que expresa propiedades inmediatas derivadas de algún teorema.

5. Las demostraciones en las que se hace ver la imposibilidad de la falsedad de la tesis, se llaman por reducción al absurdo.

6.Condiciones necesarias y suficientes. Establecer una condición necesaria y suficiente equivale a demostrar un teorema directo y su recíproco.

7. Principio de reciprocidad. El teorema reciproco es independiente del directo y la verdad ó falsedad de uno no implica la del otro. Sin embargo, hay un caso en el que el teorema recíproco es válido si lo es el directo. Este se produce cuando en una cuestión caben diversas hipótesis que se excluyen mutuamente y que, juntas, se complementan. En éste caso, de la verdad del directo se deduce la del recíproco.

8. Inducción completa. En las ciencias experimentales se deduce una ley general observando casos particulares y generalizando el resultado a todos los casos análogos.
Este procedimiento se llama de inducción.
Este método no es aplicable en la Matemática, pues si una ley se cumple para diversos casos no es válido afirmar que se verificará para todos los demás. En la Matemática se utiliza el método de inducción completa, que consta de dos partes:
1. Se comprueba que la ley se verifica para el valor natural n.
2. Se demuestra que, si se verifica para el valor natural n, cualquiera que sea, también se verifica para el valor n+1.

[Pompilio Zigrino]

Interesante. Podría denominarse también método deductivo (dentro de un sistema axiomático)

[Carlos Alberto Carcagno]

Hola:

Quisiera agregar que la Matemática es deductiva en parte. En efecto, demostrar un teorema es deducirlo de los axiomas correspondientes. Actualmente, toda la Matemática depende de los axiomas de la Teoría de Conjuntos.

Pero todo razonamiento deductivo contiene la conclusión en sus premisas, por lo que no se agrega nuevo conocimiento. Poincaré se preguntaba por qué no era posible, entonces, reducir toda la Matemática a una tautología, una inmensa y rebuscada manera de decir "a es a".

Justamente, la inducción completa o matemática es una manera no deductiva de establecer conocimientos. No puede ser reducida al principio de contradicción, pues no es posible construir todos los silogismos que se darían en infinitos pasos.

La comprobación de una propiedad hereditaria es semejante a la infinitud del proceso de cuenta, que es un postulado, pues no es demostrable ni puede deducirse de la experiencia.

Saludos.

Carlos