Dilatación del tiempo por gravedad

[Gaussiano]

Sean dos relojes A y B que en un comienzo están juntos, donde el reloj A pertenece siempre a un sistema inercial y el reloj B pertenece siempre a un sistema no siempre inercial (no inercial) pero donde el reloj B sí tiene siempre respecto al sistema inercial del reloj A módulo de velocidad constante (o sea, puede tener aceleraciones normales pero no tangenciales) entonces la dilatación del tiempo por gravedad del reloj A respecto al sistema no siempre inercial del reloj de B cuando se vuelven a juntar está dada por la siguiente ecuación:

\Delta t_A = \Delta t_B \gamma v^{2} c^{-2}

Saludos.

[Ruffus]

La dilatación del tiempo ocurre en dos casos:

En la teoría de la relatividad especial los relojes que se muevan respecto a un sistema de referencia inercial,siendo que el hipotético observador está inmóvil) deberían funcionar más despacio. Este efecto está descrito con precisión por las transformaciones de Lorentz.

En la teoría de la relatividad general, los relojes que estén sometidos a grandes campos gravitatorios , marcan el tiempo más lentamente.

[Gaussiano]

Sí, Ruffus, pero en un sistema no inercial actúan fuerzas "ficticias" o "aparentes" haciendo que sobre este sistema no inercial actué un campo gravitatorio en un sentido generalizado. Por lo tanto, el mensaje #1 mucho mejor desarrollado sería el siguiente:

Afirmación

Si un reloj A de un sistema inercial A y un reloj B de un sistma no inercial B (no rotante) coinciden en un mismo punto espacial en un tiempo inicial y luego en otro tiempo final coinciden también en un mismo punto espacial y si además el módulo de la velocidad ( v ) del reloj B es siempre constante respecto al sistema inercial A (es decir, en todo el recorrido el reloj B respecto al sistema inercial A puede tener velocidad lineal constante o aceleración normal constante pero nunca puede tener aceleración tangencial) entonces la dilatación total del tiempo por gravedad ( \Delta t_{A.g} ) del reloj A respecto al reloj B ( \Delta t_B ) para el sistema no inercial B está siempre dada por la siguiente ecuación:

\Delta t_{A.g} = \Delta t_B \gamma v^{2} c^{-2}

donde \gamma es el factor gamma según velocidad v y c es la velocidad de la luz en el vacío (la velocidad del reloj B respecto al sistema inercial A es igual a la velocidad del reloj A respecto al sistema no inercial B)

Demostración

Si la distancia total recorrida del reloj B respecto al sistema inercial A es D entonces la variación del tiempo del reloj A respecto al sistema inercial A es:

\Delta t_A = D v^{-1}

Por lo tanto, la variación del reloj B respecto al sistema inercial A por dilatación total del tiempo por velocidad es:

\Delta t_B = \Delta t_A \gamma^{-1} = D v^{-1} \gamma^{-1}

Por lo tanto, la variación del reloj A respecto al sistema no inercial B por dilatación total del tiempo por velocidad es:

\Delta t_{A.v} = \Delta t_B \gamma^{-1} = D v^{-1} \gamma^{-2}

Y según este post la variación del reloj A respecto al sistema no inercial B por dilatación total del tiempo por gravedad es:

\Delta t_{A.g} = \Delta t_B \gamma v^{2} c^{-2}

Ahora, si lo que afirma este post es correcto entonces la siguiente ecuación para el sistema no inercial B tendría que ser siempre verdadera:

\Delta t_A = \Delta t_{A.v} + \Delta t_{A.g}

Finalmente verificando la ecuación anterior, se obtiene:

\Delta t_A = \Delta t_B \gamma^{-1} + \Delta t_B \gamma v^{2} c^{-2}

\Delta t_A = D v^{-1} \gamma^{-1} \gamma^{-1} + D v^{-1} \gamma^{-1} \gamma v^{2} c^{-2}

\Delta t_A = D v^{-1} ( \gamma^{-2} + v^{2} c^{-2} )

\Delta t_A = D v^{-1}

Saludos.

P/D I: El sistema B en realidad puede ser en algunos tramos del recorrido total del reloj B un sistema inercial o un sistema no inercial, pero nunca puede ser en todo el recorrido del reloj B siempre un sistema inercial.

P/D II: Para ver las ecuaciones bien copien cualquier ecuación y la pegan en un editor online de Latex. Por ejemplo, en el editor online de codecogs.

[Gaussiano]

Por último, generalizando el mensaje #3

Si un reloj A de un sistema inercial A y un conjunto de relojes de un conjunto de sistemas no inerciales (no rotantes respecto al sistema inercial A) coinciden en un mismo punto espacial en un tiempo inicial y luego en otro tiempo final coinciden también en un mismo punto espacial y si además el módulo de cada reloj de cualquier sistema no inercial es siempre constante respecto al sistema inercial A (es decir, en todo el recorrido cada reloj de cualquier sistema no inercial respecto al sistema inercial A puede tener velocidad lineal constante o aceleración normal constante pero nunca puede tener aceleración tangencial) entonces:

1) La dilatación total del tiempo por velocidad ( \Delta t_{XB.v} ) de cualquier reloj X respecto a un reloj B ( \Delta t_B ) para el sistema no inercial B está siempre dada por la siguiente ecuación:

\Delta t_{XB.v} = \Delta t_B \gamma_{XB}^{-1}

donde \gamma_{XB} es el factor gamma según la velocidad v_{XB} del reloj X respecto al sistema no inercial B.

2) La dilatación total del tiempo por gravedad ( \Delta t_{XB.g} ) del reloj X respecto al reloj B ( \Delta t_B} ) para el sistema no inercial B está siempre dada por la siguiente ecuación:

\Delta t_{XB.g} = \Delta t_B ( \gamma_{AB} \gamma_{XA}^{-1} - \gamma_{XB}^{-1} )

donde \gamma_{AB} es el factor gamma según la velocidad v_{AB} del reloj A respecto al sistema no inercial B, \gamma_{XA} es el factor gamma según la velocidad v_{XA} del reloj X respecto al sistema inercial A y \gamma_{XB} es el factor gamma según la velocidad v_{XB} del reloj X respecto al sistema no inercial B.

El sistema no inercial B conociendo la velocidad v_{AB} del reloj A y la velocidad v_{XB} del reloj X puede obtener la velocidad v_{XA} del reloj X respecto al sistema inercial A aplicando la adición de velocidades de la teoría de relatividad especial.

Por un lado, es fácil demostrar que siempre: ( \gamma_{AB} = \gamma_{AB} v_{AB}^{2} c^{-2} + \gamma_{AB}^{-1} )

Pero, por otro lado, habría que demostrar que siempre: ( \gamma_{AB} \gamma_{XA}^{-1} - \gamma_{XB}^{-1} ) > 0

Saludos.

P/D I: Cualquier sistema menos el sistema A puede ser en algunos tramos del recorrido total un sistema inercial o un sistema no inercial, pero nunca puede ser en todo el recorrido siempre un sistema inercial.

P/D II: Para ver las ecuaciones bien copien cualquier ecuación y la pegan en un editor online de Latex. Por ejemplo, en el editor online de codecogs.

[Emeric]

Traducción al español, por favor ... Je, je ...