¿ Es el principio de mínima acción una tautología ?

[kinetico]

En mecánica clásica, aparentemente es posible obtener el principio de mínima acción a partir de la aceleración de una partícula.

Si consideramos un campo de fuerzas (uniforme o no uniforme) en el que la aceleración http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7Ba%7D_A de una partícula A es constante, entonces

http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7Ba%7D_A%20=%20%5Cvec%7Ba%7D_A

http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cint%20%5Cvec%7Ba%7D_A%20%5Ccdot%20d%5 Cvec%7Br%7D_A%20=%20%5Cint%20%5Cvec%7Ba%7D_A%20%5C cdot%20d%5Cvec%7Br%7D_A

http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cint%20%5Cvec%7Ba%7D_A%20%5Ccdot%20d%5 Cvec%7Br%7D_A%20=%20%5CDelta%20%5C;%20%7B%5Ctextst yle%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7D%5Cvec%7Bv%7D_A%5E%7 B%5C;2%7D

http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cint%20%5Cvec%7Ba%7D_A%20%5Ccdot%20d%5 Cvec%7Br%7D_A%20=%20%5CDelta%20%5C;%20%5C;%20%5Cve c%7Ba%7D_A%20%5Ccdot%20%5Cvec%7Br%7D_A

http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5CDelta%20%5C;%20%7B%5Ctextstyle%20%5Cf rac%7B1%7D%7B2%7D%7D%5Cvec%7Bv%7D_A%5E%7B%5C;2%7D% 20=%20%5CDelta%20%5C;%20%5C;%20%5Cvec%7Ba%7D_A%20% 5Ccdot%20%5Cvec%7Br%7D_A

http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5CDelta%20%5C;%20%7B%5Ctextstyle%20%5Cf rac%7B1%7D%7B2%7D%7D%5Cvec%7Bv%7D_A%5E%7B%5C;2%7D% 20-%20%5CDelta%20%5C;%20%5C;%20%5Cvec%7Ba%7D_A%20%5Cc dot%20%5Cvec%7Br%7D_A%20=%200

http://latex.codecogs.com/gif.latex?m_A%20%5Cleft%28%20%5CDelta%20%5C;%20%7B %5Ctextstyle%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7D%5Cvec%7Bv% 7D_A%5E%7B%5C;2%7D%20-%20%5CDelta%20%5C;%20%5C;%20%5Cvec%7Ba%7D_A%20%5Cc dot%20%5Cvec%7Br%7D_A%20%5Cright%29%20=%200

http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5CDelta%20%5C;%20T_A%20-%20%5CDelta%20%5C;%20V_A%20=%200

http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cleft%28%20T_%7BAf%7D%20-%20T_%7BAi%7D%20%5Cright%29%20-%20%5Cleft%28%20V_%7BAf%7D%20-%20V_%7BAi%7D%20%5Cright%29%20=%200

http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cleft%28%20T_%7BAf%7D%20-%20V_%7BAf%7D%20%5Cright%29%20-%20%5Cleft%28%20T_%7BAi%7D%20-%20V_%7BAi%7D%20%5Cright%29%20=%200

http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cleft%28%5C;%20L_%7BAf%7D%20%5C;%5Crig ht%29%20-%20%5Cleft%28%5C;%20L_%7BAi%7D%20%5C;%5Cright%29%2 0=%200

http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5CDelta%20%5C;%20L_A%20=%200

http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cint%20L_A%20%5C;%20dt=%200

Si http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7Ba%7D_A no es constante pero http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7Ba%7D_A es función de http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7Br%7D_A entonces se obtiene el mismo resultado, aun si la segunda ley de Newton no fuese válida.

[kinetico]

Reformulación:

En mecánica clásica, si consideramos un campo de fuerzas (uniforme o no uniforme) en el que la aceleración http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7Ba%7D_A de una partícula A es constante, entonces


http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7Ba%7D_A%20-%20%5C,%20%5Cvec%7Ba%7D_A%20=%200


http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cleft%28%20%5Cvec%7Ba%7D_A%20-%20%5C,%20%5Cvec%7Ba%7D_A%20%5Cright%29%20%5Ccdot% 20%5Cdelta%20%5Cvec%7Br%7D_A%20=%200


http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cint_%7Bt_%7B1%7D%7D%5E%7Bt_%7B2%7D%7D %20%5Cleft%28%20%5Cvec%7Ba%7D_A%20-%20%5C,%20%5Cvec%7Ba%7D_A%20%5Cright%29%20%5Ccdot% 20%5Cdelta%20%5Cvec%7Br%7D_A%20%5C;%20%5C,%20dt%20 =%200

http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cdelta%20%5Cint_%7Bt_%7B1%7D%7D%5E%7Bt _%7B2%7D%7D%20%5Cleft%28%20%7B%5Ctextstyle%20%5Cfr ac%7B1%7D%7B2%7D%7D%20%5C;%20%5Cvec%7Bv%7D_A%5E%7B %5C;2%7D%20%5C,%20+%20%5C,%20%5Cvec%7Ba%7D_A%5E%7B %5Cvphantom%7B%5E%7B%5C;2%7D%7D%7D%20%5Ccdot%20%5C vec%7Br%7D_A%5E%7B%5Cvphantom%7B%5E%7B%5C;2%7D%7D% 7D%20%5Cright%29%20%5C,%20dt%20=%200

http://latex.codecogs.com/gif.latex?m_A%5E%7B%5Cvphantom%7B%5E%7B%5C;2%7D%7D %7D%20%5C;%20%5Cdelta%20%5Cint_%7Bt_%7B1%7D%7D%5E% 7Bt_%7B2%7D%7D%20%5Cleft%28%20%7B%5Ctextstyle%20%5 Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7D%20%5C;%20%5Cvec%7Bv%7D_A%5E %7B%5C;2%7D%20%5C,%20+%20%5C,%20%5Cvec%7Ba%7D_A%5E %7B%5Cvphantom%7B%5E%7B%5C;2%7D%7D%7D%20%5Ccdot%20 %5Cvec%7Br%7D_A%5E%7B%5Cvphantom%7B%5E%7B%5C;2%7D% 7D%7D%20%5Cright%29%20%5C,%20dt%20=%200

http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cdelta%20%5Cint_%7Bt_%7B1%7D%7D%5E%7Bt _%7B2%7D%7D%20%5Cleft%28%20T_A%20-%20%5C,%20V_A%20%5Cright%29%20%5C,%20dt%20=%200

http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cdelta%20%5Cint_%7Bt_%7B1%7D%7D%5E%7Bt _%7B2%7D%7D%20L_A%20%5C;%20%5C,%20dt%20=%200


donde:


http://latex.codecogs.com/gif.latex?T_A%20=%20%7B%5Ctextstyle%20%5Cfrac%7B1% 7D%7B2%7D%7D%20%5C;%20m_A%5E%7B%5Cvphantom%7B%5E%7 B%5C;2%7D%7D%7D%5Cvec%7Bv%7D_A%5E%7B%5C;2%7D

http://latex.codecogs.com/gif.latex?V_A%20=%20-%20%5C;%20m_A%5E%7B%5Cvphantom%7B%5E%7B%5C;2%7D%7D %7D%20%5C;%20%5Cvec%7Ba%7D_A%5E%7B%5Cvphantom%7B%5 E%7B%5C;2%7D%7D%7D%20%5Ccdot%20%5Cvec%7Br%7D_A%5E% 7B%5Cvphantom%7B%5E%7B%5C;2%7D%7D%7D


Si http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7Ba%7D_A no es constante pero http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7Ba%7D_A es función de http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7Br%7D_A entonces se obtiene el mismo resultado, aun si la segunda ley de Newton no fuese válida.http://latex.codecogs.com/gif.latex?%7B%5Chphantom%7Baat%7D%7D

[kinetico]

Principio de D'Alembert

En mecánica clásica, si consideramos una simple partícula de masa http://latex.codecogs.com/gif.latex?m, entonces

http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7Ba%7D%20-%20%5Cvec%7Ba%7D%20=%200%20%5C;%20%5C;%20%5C;%20%5 C;%20%5C;%20[1]

http://latex.codecogs.com/gif.latex?m%20%5C:%20%5Cvec%7Ba%7D%20-%20m%20%5C:%20%5Cvec%7Ba%7D%20=%200%20%5C;%20%5C;% 20%5C;%20%5C;%20%5C;%20[2]

http://latex.codecogs.com/gif.latex?%28m%20%5C:%20%5Cvec%7Ba%7D%20-%20m%20%5C:%20%5Cvec%7Ba%7D%29%20%5Ccdot%20%5Cdelt a%20%5Cvec%7Br%7D%20=%200%20%5C;%20%5C;%20%5C;%20% 5C;%20%5C;%20[3]

La ecuación [3] es el Principio de D'Alembert para una simple partícula.

Ahora, como http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7Ba%7D=%5Cvec%7BF%7D%20/%20m, entonces

http://latex.codecogs.com/gif.latex?%28%5Cvec%7BF%7D%20-%20m%20%5C:%20%5Cvec%7Ba%7D%29%20%5Ccdot%20%5Cdelt a%20%5Cvec%7Br%7D%20=%200

donde:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7BF%7D%20=%20%5Csum%20%5Cvec%7BF% 7D%20=%20%5Csum%20%5Cvec%7BF%7D_%7Breales%7D%20+%2 0%5Csum%20%5Cvec%7BF%7D_%7Bficticias%7D

[kinetico]

Principio de Hamilton

A partir del Principio de D'Alembert (post #3 ecuación [3]), se obtiene

http://latex.codecogs.com/gif.latex?%28m%20%5C:%20%5Cvec%7Ba%7D%20-%20m%20%5C:%20%5Cvec%7Ba%7D%29%20%5Ccdot%20%5Cdelt a%20%5Cvec%7Br%7D%20=%200%20%5C;%20%5C;%20%5C;%20% 5C;%20%5C;%20[3]

http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cint_%7Bt_%7B1%7D%7D%5E%7Bt_%7B2%7D%7D %20%28m%20%5C:%20%5Cvec%7Ba%7D%20-%20m%20%5C:%20%5Cvec%7Ba%7D%29%20%5Ccdot%20%5Cdelt a%20%5Cvec%7Br%7D%20%5C;%20%5C,%20dt=%200%20%5C;%2 0%5C;%20%5C;%20%5C;%20%5C;%20[4]

http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cdelta%20%5Cint_%7Bt_%7B1%7D%7D%5E%7Bt _%7B2%7D%7D%20%7B%5Ctextstyle%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2 %7D%7D%20%5C:%20m%20%5C:%20v%5E2%20%5C:%20dt%20%5C ;%20+%20%5Cint_%7Bt_%7B1%7D%7D%5E%7Bt_%7B2%7D%7D%2 0m%20%5C:%20%5Cvec%7Ba%7D%20%5Ccdot%20%5Cdelta%20% 5Cvec%7Br%7D%20%5C;%20%5C,%20dt%20=%200%20%5C;%20% 5C;%20%5C;%20%5C;%20%5C;%20[5]

La ecuación [5] es el Principio de Hamilton para una simple partícula.

Ahora, como http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7Ba%7D=%5Cvec%7BF%7D%20/%20m, entonces

http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cdelta%20%5Cint_%7Bt_%7B1%7D%7D%5E%7Bt _%7B2%7D%7D%20%7B%5Ctextstyle%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2 %7D%7D%20%5C:%20m%20%5C:%20v%5E2%20%5C:%20dt%20%5C ;%20+%20%5Cint_%7Bt_%7B1%7D%7D%5E%7Bt_%7B2%7D%7D%2 0%5Cvec%7BF%7D%20%5Ccdot%20%5Cdelta%20%5Cvec%7Br%7 D%20%5C;%20%5C,%20dt%20=%200

Si http://latex.codecogs.com/gif.latex?-%20%5Cdelta%20V%20=%20%5Cvec%7BF%7D%20%5Ccdot%20%5 Cdelta%20%5Cvec%7Br%7D, y como http://latex.codecogs.com/gif.latex?T%20=%20%7B%5Ctextstyle%20%5Cfrac%7B1%7D %7B2%7D%7D%20%5C:%20m%20%5C:%20v%5E2, entonces

http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cdelta%20%5Cint_%7Bt_%7B1%7D%7D%5E%7Bt _%7B2%7D%7D%20T%20%5C;%20%5C,%20dt%20%5C:%20-%20%5Cdelta%20%5Cint_%7Bt_%7B1%7D%7D%5E%7Bt_%7B2%7 D%7D%20V%20%5C;%20%5C,%20dt%20=%200

o bien

http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cdelta%20%5Cint_%7Bt_%7B1%7D%7D%5E%7Bt _%7B2%7D%7D%20%28T%20%5C:%20-%20V%29%20%5C;%20%5C,%20dt%20=%200

Como http://latex.codecogs.com/gif.latex?L%20=%20T%20%5C:%20-%20V, finalmente se deduce

http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cdelta%20%5Cint_%7Bt_%7B1%7D%7D%5E%7Bt _%7B2%7D%7D%20L%20%5C;%20%5C,%20dt%20=%200

[kinetico]

Ecuaciones de Euler-Lagrange


A partir del Principio de D'Alembert (post #3 ecuación [3]), se obtiene


http://latex.codecogs.com/gif.latex?%28m%20%5C:%20%5Cvec%7Ba%7D%20-%20m%20%5C:%20%5Cvec%7Ba%7D%29%20%5Ccdot%20%5Cdelt a%20%5Cvec%7Br%7D%20=%200%20%5C;%20%5C;%20%5C;%20% 5C;%20%5C;%20[3]


http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cldots


http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdt%7D%20%5Cleft%28%20%5 Cfrac%7B%5Cpartial%20%5C,%20%7B%5Ctextstyle%20%5Cf rac%7B1%7D%7B2%7D%7D%20%5C:%20m%20%5C:%20v%5E2%7D% 7B%5Cpartial%20%5C,%20%5Cdot%7Bq%7D_j%7D%20%5Crigh t%29%20-%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20%5C,%20%7B%5Ctextstyle%2 0%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7D%20%5C:%20m%20%5C:%20v%5E 2%7D%7B%5Cpartial%20%5C,%20%7Bq%7D_j%7D%20=%20m%20 %5C:%20%5Cvec%7Ba%7D%20%5Ccdot%20%5Cfrac%7B%5Cpart ial%20%5C,%20%5Cvec%7Br%7D%7D%7B%5Cpartial%20%5C,% 20%7Bq%7D_j%7D%20%5C;%20%5C;%20%5C;%20%5C;%20%5C;% 20[5]


Las ecuaciones [5] son las Ecuaciones de Euler-Lagrange para una simple partícula.


Ahora, como http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7Ba%7D=%5Cvec%7BF%7D%20/%20m y http://latex.codecogs.com/gif.latex?Q_j=%5Cvec%7BF%7D%20%5Ccdot%20%28%5Cpart ial%20%5C,%20%5Cvec%7Br%7D%20/%20%5Cpartial%20%5C,%20%7Bq%7D_j%29, entonces


http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdt%7D%20%5Cleft%28%20%5 Cfrac%7B%5Cpartial%20%5C,%20%7B%5Ctextstyle%20%5Cf rac%7B1%7D%7B2%7D%7D%20%5C:%20m%20%5C:%20v%5E2%7D% 7B%5Cpartial%20%5C,%20%5Cdot%7Bq%7D_j%7D%20%5Crigh t%29%20-%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20%5C,%20%7B%5Ctextstyle%2 0%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7D%20%5C:%20m%20%5C:%20v%5E 2%7D%7B%5Cpartial%20%5C,%20%7Bq%7D_j%7D%20=%20Q_j


Si http://latex.codecogs.com/gif.latex?%28-%20%5C:%20%5Cpartial%20%5C,%20V%20/%20%5Cpartial%20%5C,%20%7Bq%7D_j%29%20=%20Q_j, como http://latex.codecogs.com/gif.latex?T%20=%20%7B%5Ctextstyle%20%5Cfrac%7B1%7D %7B2%7D%7D%20%5C:%20m%20%5C:%20v%5E2 y http://latex.codecogs.com/gif.latex?%28%5Cpartial%20%5C,%20V%20/%20%5Cpartial%20%5C,%20%5Cdot%7Bq%7D_j%29%20=%200, entonces


http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdt%7D%20%5Cleft%28%20%5 Cfrac%7B%5Cpartial%20%5C,%20%28T%20%5C:%20-%20V%29%7D%7B%5Cpartial%20%5C,%20%5Cdot%7Bq%7D_j%7 D%20%5Cright%29%20-%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20%5C,%20%28T%20%5C:%20-%20V%29%7D%7B%5Cpartial%20%5C,%20%7Bq%7D_j%7D%20=% 200


Como http://latex.codecogs.com/gif.latex?L%20=%20T%20%5C:%20-%20V, finalmente se deduce


http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdt%7D%20%5Cleft%28%20%5 Cfrac%7B%5Cpartial%20%5C,%20L%7D%7B%5Cpartial%20%5 C,%20%5Cdot%7Bq%7D_j%7D%20%5Cright%29%20-%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20%5C,%20L%7D%7B%5Cpartial %20%5C,%20%7Bq%7D_j%7D%20=%200