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Ver la versión completa : Algebra : ¿ qué es, y para qué sirve ?



Emeric
08/12/2006, 22:11
Aritmética, Matemáticas, Geometría, Algebra, Trigonometría ...

Algebra : "instrumento de tortura con el cual se obtiene la confesión de nuestra propia inferioridad frente a la omnisapiencia de los maestros". PEI 2006.

Así viví yo el álgebra.

Sáquenme de aprieto. Explíquenme bien y, por favor, sin torturarme, qué rayos es el álgebra y, sobre todo, para qué sirve.

1.000.000 de gracias desde ya. :yo:

Numerarius
10/12/2006, 12:52
El álgebra se diferencia de la aritmética en que, en vez de operar con números, opera con variables.

En vez de 2+2=4, en el álgebra aparecen fórmulas como y=6·x-4.

El problema del ágebra es que hay que operar con variables, que no se refieren a un número, sino a conjuntos de números. Es básico el concepto de FUNCIÓN.

En la universidad, para estudiar el álgebra se empieza por la teoría de conjuntos. Son importantes los conceptos de función inyectiva, suprayectiva y biyectiva.

Estos conceptos son la base de las matemáticas.

Luego, el álgebra tiene otros temas, como matrices, espacios vectoriales y estructuras algebraicas.

Emeric
10/12/2006, 16:56
Dije : "sin torturarme" ... :roll:

Nicasio
11/12/2006, 06:23
Dije : "sin torturarme" ... :roll:
El algebra es el arte de hacer operaciones con numeros y con variables (letras que pueden tomar cualquier valor numerico). Según esto, puede decirse que la Aritmetica es un caso particular del Algebra.
¿Para que sirve?
En el nivel mas elemental, para resolver ecuaciones (igualdades) en la que se desconoce una cantidad. Por ejemplo x + 3 = 8 ¿Cual es el valor de x?. Evidentemente x = 8 -3 = 5
Si la complicamos un poquito, por ejemplo x^2 + 3 = 8 ¿cual es el valor de x? x = raiz cuadrada de 5.
¿Y si la complicamos mas? , por ejemplo x^2 + 3x + 3 = 8. ¡Uf! se tiene que emplear una fórmula un pelin complicada, que tiene como caracteristica una raíz cuadrada (llamada radical)
¿Y si la complicamos aun mas?, por ejemplo x^3 + x^2 + x + 3 = 8. .¡¡Uff!! Se tiene que emplear otra formula, mas complicada que la anterior, que tiene como característica que tambien tiene radicales en su composición.
¿Y así hasta el infinito?. No exactamente. Durante mucho tiempo hubo una carrera entre matematicos para averiguar las formulas de resolucion de las ecuaciones, primero con exponente cuatro y despues con exponente 5, y aquí se pararon. Fueron incapaces de encontrar formulas con radicales que las resolvieran. ¿Por qué?. Sencillamente, porque no existían. Hubo que esperar hasta principios del siglo XIX para que un matematico frances, llamado Jean-Baptiste Galois explicase por qué no podían encontrarse dichas formulas. Se dice que su explicación la terminó la noche antes de su muerte en un duelo por una mujer que, según él, era sólo una coqueta.De donde se demuestra que prefería las mujeres al algebra.
Durante mucho tiempo se pensó que el objeto del Algebra era la resolución de las ecuaciones, pero hoy no es sólo eso.
Continuaré en otro momento, pues ahora me llaman mis obligaciones.
Emeric, no se si te he torturado.

Emeric
11/12/2006, 06:27
No, pero aparte de que el álgebra sirva para encontrar una cantidad desconocida, creo que lo demás es puro deporte cerebral.

Nicasio
11/12/2006, 08:29
No, pero aparte de que el álgebra sirva para encontrar una cantidad desconocida, creo que lo demás es puro deporte cerebral.
Vuelvo un ratito.
No creas,Emeric. Tal vez en su inicio fué puro deporte mental, pero ahora ya no.
Otro ejemplo. Antes hallabamos una cantidad desconocida. Ahora vamos a calcular dos. Supongamos dos ecuaciones, tales como, x + y = 8 y x - y = 2
¿cuales son los valores de x e y ?. evidentemente 5 y 3, que se obtienen facilmente. Pero si lo complicamos y en lugar de dos ecuaciones ponemos tres ó 4,ó 5, ó 20, la cosa ya no es tan facil. En el cálculo de la estructura de un avión te puedes encontrar con sistemas de 20 ecuaciones con 20 incognitas (cantidades desconocidas). ¿Cómo hacemos para hallar estas 20 incognitas? ó mejor ¿Cómo le decimos al ordenador cómo debe hacerlo?.El álgebra da los metodos para resolverlos.
Otro ejemplo. ¿cómo calculamos los flujos de agua en la red de tuberias de agua potable de una ciudad? Aquí la cosa está mas complicada porque las incognitas están elevadas al cuadrado.¿Como? Elemental, querido Emeric, algebra,algebra.

Lo siento me tengo que marchar otra vez.

Emeric
11/12/2006, 08:39
Te entiendo perfectamente bien, Nica. Eso es muy útil para los ingenieros y demás especialistas, pero para el mero ciudadano que soy yo, las aplicaciones que has mencionado son inútiles.

Nicasio
11/12/2006, 09:49
Te entiendo perfectamente bien, Nica. Eso es muy útil para los ingenieros y demás especialistas, pero para el mero ciudadano que soy yo, las aplicaciones que has mencionado son inútiles.
Si. Podriamos seguir hablando hasta el infinito de las aplicaciones del algebra, pero para el ciudadano normal con saber las cuatro reglas y algo de geometría le es suficiente. Por cierto, la geometría y el algebra puede decirse que son la misma cosa.

Emeric
02/01/2007, 21:13
Coincido contigo. :yo:

Carlos Alberto Carcagno
03/01/2007, 08:07
Hola:

Sin ánimo de atacar a nadie, el ciudadano normal podría llevar una vida plena y feliz aún creyendo que la tierra es plana y que el Sol gira alrededor de la Tierra, fija en el centro del universo.

El Álgebra es un intento de llevar las reglas más básicas y generales de la Aritmética a un ámbito más general, trabajando con objetos cualesquiera. La operación aritmética 2 + 3 = 5 tiene la estructura a + b = c. Al principìo, uno tiende a pensar que a, b y c son los números comunes que manejamos; pero despés comienza a darse cuenta de que hay otros objetos diferentes a esos números ordinarios que también se dejan describir por esas estructuras, Allí comienza la generalidad.

Si en vez de la suma ordinaria de números reales, el signo de suma representa girar un triángulo equilátero 120º con su centro fijo y en el sentido contrario a las agujas del reloj, tenemos un "giro cero", que sería dejar la figura como está; un giro "uno", que movería 120º el triángulo con su centro fijo y un "giro 2", que lo haría rotar 240º. El siguiente giro lo llevaría a coincidir con su posición inicial y sería lo mismo que no haberlo movido (Hay una diferencia entre los actos realizados y el resultado final; en este caso se atiende el resultado final). Por como se han definido esas rotaciones, podemos escribir 0 + 0 = 0; 0 + 1 = 1; 0 + 2 = 2; 1 + 2 = 0; 1 + 0 = 1; 2 + 0 = 2; 2 + 1 = 0. Después podemos estudiar si esta operación de giro es conmutativa, asociativa, si tiene elemento neutro y si tiene inverso. (Como es el caso de los números ordinarios que manejamos a diario)Estudiamos su estructura; estructura que puede servir para otras cosas que todavía no conocemos o que conocemos y que por lo pronto no hemos analizado.

Se puede llegar al punto de construir una matemática abstracta en la que no importe qué está dentro de las variables. Por ejemplo, digo: Propiedad uno: Dos A determinan un único B.

Si A = un punto y B = recta. "Dos puntos determinan una única recta";

si A = recta y B = plano. "Dos rectas determinan un único plano".

Saludos.

Nicasio
04/01/2007, 04:45
Gracias por tu aportación, Carlos.
Has explicado de una forma muy intuitiva qué son las estructuras algebraicas.
A partir de aquí podriamos hablar de esas estructuras: anillos, cuerpos, grupos, espacios vectoriales,etc,etc..

Carlos Alberto Carcagno
04/01/2007, 07:53
Hola:

Gracias por tu comentario. Es un dilema para mí contestar un elogio o no. Si lo hago públicamente, en este lugar, le podría parecer a alguien que quiero figurar y dejar que siempre al final quede mi post. Si lo hago por correo privado, pudiera parecerle a otros que no soy una persona educada o agradecida.

No esperen que siempre pueda hacer algún aporte intuitivo y claro, pues no existe nadie que tenga claro todo. Muchas veces uno apenas maneja algunas fórmulas sin saber realmente de qué se trata. Pero siempre trataré de hacer lo que Ortega y Gasset denominaba la cortesía del filósofo: ser claro.

Los comentarios previos son todos correctos y muchos de ellos, al hablar de variables numéricas, hacen referencia al comienzo del álgebra. pero ¿qué es un número? Es un elemento perteneciente a un conjunto que tiene estructura de sistema numérico. ¿Qué es un sistema numérico?

Si tenemos un conjunto de elementos y dos operaciones binarias denominadas suma (adición) y producto (multiplicación) (En principio, una operación binaria es un objeto matemático que relaciona dos elementos de un conjunto -de ahí binaria- y los asocia con un tercero. Este objeto debe agotar la totalidad de los elementos en todas sus combinaciones posibles; como suele decirse, la operación debe estar definida para todos los elementos del conjunto. Se presentan casos extraños que es menester resolver de alguna manera, pero esto complicaría inútilmente la explicación para los que no tienen conocimientos previos), se dice que el conjunto es un sistema numérico si ambas operaciones son asociativas y conmutativas y si la multiplicación o producto es distributiva con respecto a la suma o adición.
Por asociativa se entiende que si tenemos tres elementos a ser sumados, por ejemplo, da lo mismo sumar los dos primeros y luego el tercero, que sumar los dos últimos y luego el primero, en ambos casos se da el mismo resultado. Por conmutativa se entiende que la suma a+b es igual a la suma b+a (o el producto, para ambos casos).

Hay operaciones definidas en conjuntos de números, que no son asociativas. Una muy sencilla de entender es: la operación "promedio de a y b", en nuestra notación, pr (a, b), y que definimos pr (a, b) = (a + b) / 2. Veamos:

(utilizaremos otra notación para hacer más fácil la escritura) pr (a, b) es equivalente a "a pr b")

¿(a pr b) pr c = a pr (b pr c)?

Con un contraejemplo basta: ¿(7 pr 9) pr 4 = 7 pr (9 pr 4)?

Primer miembro: 7 + 9 = 16, 16/2 = 8; 8 + 4 = 12, 12/ 2 = 6

Segundo miembro: 9 + 4 = 13, 13/2 = 6,5; 7 + 6,5 = 13,5, 13,5 /2 = 6,75

6 no es igual a 6,75; la operación no es asociativa. O sea, un conjunto de números naturales con esta operación y alguna otra no constituye un sistema numérico, pues una de las operaciones no es asociativa, como pide la definición. Así, como hay conjuntos que contienen "números" familiares como 7, 9 y 4, y pueden ser definidas operaciones que no los hacen sistemas numéricos, también existen conjuntos de objetos que no son "números familiares" y, sin embargo, las operaciones definidas entre ellos los transforman en sistemas numéricos y, por lo tanto, sus elementos son números, aunque esos números sean cosas tan "raras" como ciertos tipos de movimientos de figuras regulares u otras cosas.

En esto se ha transformado la inocente manipulación de un dato desconocido en una cuenta aritmética ordinaria.

Pero Emeric tiene en este caso absoluta razón al decir que esto no afecta al hombre ordinario. Puede vivir tranquilamente ignorando todo esto sin ninguna desventaja para una existencia humana; no le impide casarse, tener hijos, trabajar en algún emprendimiento no técnico. Lo afecta indirectamente en todo el confort y en todo lo que puede destruir su paz: tanto los elementos que hacen más placentera la vida moderna (para quienes pueden pagarlos), como los instrumentos de destrucción que pueden entrar por una ventana y volar un edificio entero, se construyeron gracias al álgebra y otras ramas de la matemática.

La visión del universo y la filosofía humana se han modificado para algunas mentes a raíz de estos progresos en juegos mentales (verdaderamente son eso, pero los juegos muchas veces se pueden aplicar a cosas concretas que nos pueden hacer felices o infelices)

Como en el caso de Esopo, donde la lengua era la mejor y la peor cosa del mundo, aquí, también, el álgebra y cualquier otra cosa pueden ser lo más preciado o lo más despreciable de todo cuanto hay en el mercado. Los matemáticos sienten el deseo vehemente e irresistible de hacer matemáticas, sin importarles en qué se aplicarán sus descubrimientos, para bien o para mal del hombre. Pero no los juzguen. Un simple jardinero puede aguzar un palo para hincarlo en la tierra y enderezar un retoño. Otro hombre puede tomar ese palo y clavarlo en el pecho de un congénere.

Saludos.

Emeric
04/01/2007, 18:37
Gracias, Carlos, muy instructivo. :yo: