Carlos Alberto Carcagno
13/10/2006, 20:23
Hola:
Con fines didácticos, suele hacerse un paralelo entre la unión de conjuntos y la suma en los números enteros positivos. Los niños y, menos frecuentemente, los jóvenes caen muchas veces en errores interpretativos por no advertir lo que sigue:
Primera diferencia: La unión de conjuntos finitos puede asimilarse a una suma de números enteros positivos tan solo cuando los conjuntos son disjuntos. Cuando los conjuntos a unir tienen elementos comunes la unión da por resultado un conjunto con un número menor de elementos que la suma de los números de elementos de los conjuntos dados.
Segunda diferencia: La operación de suma ordinaria en los números enteros no goza de la propiedad distributiva con respecto al producto. Pero el producto es distributivo con respecto a la suma. En cambio, la unión es distributiva con respecto a la intersección y viceversa.
A U (B * C) = (A U B) * (A U C) [&]
A * (B U C) = (A * B) U (A * C)
El símbolo "*" reemplaza a "intersección" (U invertida)
[&] Nos lleva a la fórmula a + b . c = (a + b) . (a + c), imposible, excepto para a = c = 0.
Hay más que agregar. Un conjunto se dice un sistema numérico si entre sus elementos están definidas dos operaciones binarias denominadas suma y multiplicación, ambas asociativas y conmutativas y si el producto es distributivo con respecto a la suma.
Asimilando la unión de conjuntos a la suma y la intersección a un producto, tenemos que los conjuntos forman un sistema numérico; pero, con divisores de cero, puesto que toda intersección de conjuntos disjuntos dará el conjunto vacío o "cero" del sistema. Como el conjunto de todos los conjuntos lleva a contradicción, el sistema carece de unidad; al menos que se elija un conjunto de referencia desde el cual se definan otros conjuntos incluidos en él. En ese caso, el conjunto de referencia es la unidad. Esto va completamente en contra del concepto "intuitivo" de unidad.
En aritmética la multiplicación es una especie de abreviatura de una suma: equivale a sumar el multiplicando tantas veces como el número que representa el multiplicador.
Si asimilamos la intersección al producto, es evidente que no puede ser considerada como una repetición de uniones de uno de los conjuntos.
Saludos.
Carlos
Con fines didácticos, suele hacerse un paralelo entre la unión de conjuntos y la suma en los números enteros positivos. Los niños y, menos frecuentemente, los jóvenes caen muchas veces en errores interpretativos por no advertir lo que sigue:
Primera diferencia: La unión de conjuntos finitos puede asimilarse a una suma de números enteros positivos tan solo cuando los conjuntos son disjuntos. Cuando los conjuntos a unir tienen elementos comunes la unión da por resultado un conjunto con un número menor de elementos que la suma de los números de elementos de los conjuntos dados.
Segunda diferencia: La operación de suma ordinaria en los números enteros no goza de la propiedad distributiva con respecto al producto. Pero el producto es distributivo con respecto a la suma. En cambio, la unión es distributiva con respecto a la intersección y viceversa.
A U (B * C) = (A U B) * (A U C) [&]
A * (B U C) = (A * B) U (A * C)
El símbolo "*" reemplaza a "intersección" (U invertida)
[&] Nos lleva a la fórmula a + b . c = (a + b) . (a + c), imposible, excepto para a = c = 0.
Hay más que agregar. Un conjunto se dice un sistema numérico si entre sus elementos están definidas dos operaciones binarias denominadas suma y multiplicación, ambas asociativas y conmutativas y si el producto es distributivo con respecto a la suma.
Asimilando la unión de conjuntos a la suma y la intersección a un producto, tenemos que los conjuntos forman un sistema numérico; pero, con divisores de cero, puesto que toda intersección de conjuntos disjuntos dará el conjunto vacío o "cero" del sistema. Como el conjunto de todos los conjuntos lleva a contradicción, el sistema carece de unidad; al menos que se elija un conjunto de referencia desde el cual se definan otros conjuntos incluidos en él. En ese caso, el conjunto de referencia es la unidad. Esto va completamente en contra del concepto "intuitivo" de unidad.
En aritmética la multiplicación es una especie de abreviatura de una suma: equivale a sumar el multiplicando tantas veces como el número que representa el multiplicador.
Si asimilamos la intersección al producto, es evidente que no puede ser considerada como una repetición de uniones de uno de los conjuntos.
Saludos.
Carlos