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Ver la versión completa : rectificación de la circumferencia



carmen_rw7
13/10/2006, 11:01
haber si alguien me puede responder, ...(para aquellos que han estudiado dibujo técnico..)
¿cuales son los métodos para hacer la rectificación de una circumferencia?, ¿ cual es el método más exacto?? y que diferencia hay entre estos??

Carlos Alberto Carcagno
13/10/2006, 11:46
Hola Carmen:

No conozco todos los métodos ni sé cuál es el más preciso. Te doy uno que creo puede ser bastante aproximado:

Tienes una circunferencia y su radio. Levanta un cuadrado con el radio como lado, luego traza la diagonal del cuadrado y cuadruplícala. Tendrás el arco de un ángulo de 4 x raíz cuadrada de 2 radianes, aproximadamente, 324,1138738... grados sexagesimales. Para 360º te falta un ángulo de 35,88612618... grados sexagesimales, casi 36º. Si construyes geométricamente con regla y compás este ángulo de 36º y dibujas su tangente, ésta será una aproximación al arco del ángulo que se conoce como aproximación de Snell. Habría que agregar esta tangente al arco anterior. La aproximación de Snell es muy precisa para ángulos pequeños. En el límite de máxima precisión, el arco difiere en un infinitésimo de quinto orden. Para ángulos mayores, en el límite opuesto, equivale a calcular pi como igual a 3. Observa que los errores van en sentidos opuestos; por un lado, construimos un ángulo algo mayor que el que falta y, por otro, el valor de la tangente de este ángulo es inferior a su arco. Debe haber un ángulo óptimo cuyo valor ahora no puedo calcular. Por comodidad, puedes probar con el de 36º. Si quieres trabajar más, construye la bisectriz de la bisectriz de la bisectriz del ángulo de 36º, o sea 4,5º y dibuja su tangente. Luego la multiplicas por 8 y la sumas al arco original, que es teóricamente exacto (todo el error está en el cálculo del arco del último ángulo). Si encuentras en algún sitio la descripción teórica de la aproximación de Snell y el cálculo del error para cualquier ángulo adecuado al método, podrás determinar si es más preciso el dibujo con un ángulo de 36º o con el de 4º 30' y qué ángulo construible con regla y compás es el que proporciona menos error. Yo te estoy contestando de memoria y no tengo a mano detalles teóricos.

Saludos.

Carlos

Carlos Alberto Carcagno
16/10/2006, 09:17
Hola:

Cometí un error. La aproximación de Snell (Snellius) utiliza una tangente, pero no ta tangente trigonométrica. Para el ángulo en cuestión se prolonga el diámetro que coincide con uno de los lados en una medida igual al radio. Desde la punta de este segmento exterior igual al radio se traza una recta que pase por el punto de la circunferencia que es común al extremo del otro lado del ángulo hasta cortar la tangente en el otro punto común al otro lado del ángulo. Para un ángulo de 90º, el error está en el orden del 4%; si fuera la tangente trigonométrica, para 90º ésta tendría una longitud infinita.

Lamento no tener una ilustración para ser más claro.

Saludos.

carlos

Darck_mario
25/10/2006, 17:07
haber si alguien me puede responder, ...(para aquellos que han estudiado dibujo técnico..)
¿cuales son los métodos para hacer la rectificación de una circumferencia?, ¿ cual es el método más exacto?? y que diferencia hay entre estos??

No se puede rectificar ninguna circunferencia, a menos que se demuestre que pi es numero racional o algebraico, lo cual no creo que se verifique nunca.

Carlos Alberto Carcagno
25/10/2006, 19:40
Hola:

Se entiende que es una rectificación aproximada. El cálculo infinitesimal lo hace continuamente, son resultados que se pueden calcular con el error que se desee y sirva en la práctica.

Matemáticamente es imposible calcular el valor preciso y real. Pero las aproximaciones son inmensamente útiles. Toda la tecnología actual se basa en ellas. Cuando un ingeniero calcula el desarrollo o el recorrido lineal de un eje cilíndrico que mueve una correa de un mecanismo, utiliza un pi con cuatro o cinco decimales. Las máquinas herramientas trabajan a la milésima de milímetro y a esa escala no tiene sentido un pi con 60 mil decimales.

Saludos.

Carlos Alberto Carcagno
31/10/2006, 14:14
Hola:

Estuve haciendo un poco de números. Para el ángulo de 36º sexagesimales, la aproximación de Snell para el arco vale 0,627748342....

Tenemos que 4 veces raíz cuadrada de dos es, aproximadamente, 5,656854249...

Si sumamos ambos valores, da: 6,284602591... y dos veces pi, la longitud de la circunferencia para el radio unitario es: 6,283185307... Tenemos un error relativo en exceso del 0,0225568% o un pi equivalente a 3,142301296.

Saludos.

Carlos

Carlos Alberto Carcagno
31/10/2006, 15:15
Hola otra vez:

Hice las cuentas para 9º. La aproximación de Snell para 9º multiplicada 4 veces para obtener la aproximación al arco de 36º es de 0,628103187... que, sumado a 4 veces raíz cuadrada de 2, da 6,284311138; o sea, un pi equivalente a 3,142155569..., con un error relativo del 0,0179182% en exceso.

Pero para 4,5º el valor equivalente de pi es 3,142478718..., con lo que el error comienza a aumentar.

Esto se torna muy interesante. ¿Cuál es el ángulo ideal que sea construible euclidianamente y que de el error menor posible para la rectificación de la circunferencia por este método?

Snell calculó que el valor del arco de un ángulo está acotado por dos valores que son [3 sen (x)]/ [2 + cos (x) ] y [ 2 sen (x) + tan (x) ] / 3

Saludos.

Carlos Alberto Carcagno
31/10/2006, 16:42
Hola:

Se habla mucho acerca de los decimales de pi que se han calculado (millones), pero pocas personas tienen una idea de lo que la cantidad de decimales significa en la realidad.

Una unidad astronómica (U.A.) es la distancia media que separa el centro de la Tierra del centro del Sol. Hoy se la mide en metros según la siguiente cantidad: 149.597.870.691 m +/- 30 m. Aunque la órbita de la Tierra es elíptica, su excentricidad es muy pequeña, por lo que puede aproximarse a una circunferencia sin errores muy grandes. Así, su arco total vale tanto como 940 millones de kilómetros. Si utilizáramos un pi aproximado con 16 decimales exactos, el error cometido debido a la falta de los infinitos decimales que completan el verdadero valor de pi sería del espesor de un cabello humano ¡en 940 millones de kilómetros!

Unos 60 decimales podrían servir para apreciar el tamaño del universo visible con un error indetectable con microscopio electrónico.

Pero semejante precisión no podría ser utilizada nunca. Generalmente se trabaja con dos, tres y hasta cuatro decimales. Colocar más de ellos implicaría tomar en cuenta tantas cosas insignificantes que muy pronto las fórmulas serían inentendibles e incalculables. Verdaderamente, no se conocerían métodos matemáticos para resolverlas. Imaginen que quiero calcular un problema de física con la aceleración media de la gravedad con 20 decimales. Si muevo mi brazo derecho y estiro el dedo índice para señalar algo, habré cambiado el centro de gravedad de la Tierra y con ello, los últimos decimales de la aceleración mencionada, quizás la última mitad de decimales.

Saludos.

Carlos

Carlos Alberto Carcagno
12/11/2006, 22:17
Hola:

En el adjunto hay un poco de números para el que le guste.

Hay un método muy preciso que creó Ramanuján en 1914. Él dio un valor para pi que es igual a 3,14159265258, con un error de 0,00032 partes por millón. Esto es equivalente a decir que en una circunferencia cuyo arco sea de un kilómetro el error cometido será de 0,00032 milímetros. ¡Casi un tercio de micra!

La fórmula es muy simple: es la raíz cuarta de [81 + (361/22)]. La forma de construcción es tomar un segmento de recta y transportar 82 radios y luego 361/22 radios. Se marcará un radio desde uno de los dos extremos. Encontrada la mitad del segmento total (con compás, por ejemplo), se centrará el compás en esa mitad y se lo abrirá hasta que coincida con uno de sus bordes. Luego se traza la circunferencia con la abertura obtenida. La perpendicular al segmento levantada en la marca correspondiente a un radio cortará la circunferencia en un punto. El segmento comprendido entre este punto y la marca de origen es igual a la raíz cuadrada de 81 + 361/22. Tomado este segmento, se le adicionará otra vez un radio y se encontrará la mitad. Dibujada otra circunferencia y repetida la construcción de la perpendicular, se tendrá la raíz cuadrada de la raíz cuadrada de 81 + 361/22. Duplicada ésta, se tendrá una muy buena rectificación de la circunferencia y una paciencia de monje tibetano.

Saludos.

Carlos

Darck_mario
13/11/2006, 19:08
Hola:

En el adjunto hay un poco de números para el que le guste.

Hay un método muy preciso que creó Ramanuján en 1914.

Carlos

Sabes las demas aportaciones de Ramanujan a la teoria de numeros, es algo que me interesa mucho, la obra de ese matematico.

Carlos Alberto Carcagno
13/11/2006, 23:21
Hola:

Sí, claro, a todos. Ramanuján era un verdadero genio o -quizás- un medium. Su formación universitaria fue incipiente y de poca significación. Alguien le regaló un libro con unos 6 mil teoremas enunciados sin su correspondiente demostración. Esa fue su formación matemática.

A partir de esa lectura de los enunciados se puso a demostrar cosas. Le envió un manuscrito a Hardy y él y otro inglés que ahora no puedo recordar reconocieron inmediatamente que estaban ante la obra de un genio (Siempre es raro que matemáticos encumbrados lean trabajos de aficionados o de principiantes). Hardy lo hizo viajar hasta Inglaterra y fue su protector y amigo.

Hay un famoso cuaderno de Ramanuján que escribía en notación propia. No ha sido estudiado íntegramente. Leí comentarios acerca de que hay personas tratando de descifrar partes que todavía no están comprendidas. Ignoro si lo que se conoce de la obra de Ramanuján está publicado en algún libro.

Lo curioso del caso es que el mismo Ramanuján decía que sus teoremas le eran dictados por una diosa del panteón hindú. Por supuesto, Hardy y su compañero miraban para otro lado cuando Ramanuján hablaba estas cosas. Una pequeña molestia que podían disimular, dado lo que cosechaban a su lado.

Hardy ha sido una autoridad mundial en Teoría de Números. La famosa anécdota de la visita de Hardy a Ramanuján cuando éste agonizaba en un hospital muestra la magnitud de su percepción del mundo de los números. Sabiendo el interés que el indio tenía por los números, le mencionó el de la matrícula del taxímetro que lo había llevado hasta él. Inmediatamente Ramanuján le dijo que era el menor número que se podía escribir de dos maneras diferentes como suma de dos cubos. ¡A Hardy le llevó dos meses de trabajo poder demostrar eso!

Realmente apasionante.

Saludos.

Darck_mario
14/11/2006, 17:18
Hola:

Sí, claro, a todos. Ramanuján era un verdadero genio o -quizás- un medium..

Jaja!, logico pero entenderas que en esto discrepo. No existen los mediums....pero lo de su alto I.O no lo discuto.

Me gustaria saber si sabes de alguna pagina donde se muestren sus trabajos hechos por el....

salu2

Carlos Alberto Carcagno
14/11/2006, 19:06
Hola:

No sé si los mediums existen, pero Ramanuján decía que los teoremas se los dictaba una diosa. ¿Locura? Puede ser... Las personas con alto coeficiente intelectual se hallan muy solas, aún acompañadas por otros seres con coeficientes semejantes. De alguna manera, no pueden tener una vida afectiva plena, no me preguntes cómo. Aunque Hardy fue un "monstruo" de la Matemática, ni se acercaba al perceptil de Ramanuján; era un hombre muy inteligente, pero "más normal".

Una cosa que no entiendo, de verdad, es cómo hacen los psicólogos para medir el coeficiente intelectual de personas que se dedican a cosas de las que ellos no tienen la menor idea (con todo respeto). Dicen, por ejemplo, que Gauss tenía un coeficiente de 269, pero cómo medir y apreciar la dificultad de lo que Gauss apreciaba, si ellos ni siquieran saben escribir dos líneas acerca de geometría diferencial. Para mí es un misterio.

Realmente no conozco ninguna página de la que pueda certificarse la validez y exactitud de cuanto dice. Generalmente busco en el Google y encuentro lugares respetables como Wikiipedia y otros que puedo juzgar de acuerdo a mi formación matemática y a lo que recuerdo haber conversado con mis profesores Enzo R. Gentile y A. Larotonda. Pero jamás podría jurar por todo lo que se dice en ellas.

Saludos.

Carlos

Darck_mario
16/11/2006, 19:40
Habria que encontrar otro metodo para medir el IQ de alguna otra forma.....

Numerarius
18/11/2006, 16:59
Estoy totalmente de acuerdo con lo que dice Carlos. Los tests de los psicólogos no sirven de nada para calibrar la habilidad matemática. Les contaré una anécdota personal.

Cuando era niño hice el test de matrices de Raven, que mide el aspecto espacial y manipulativo de la inteligencia. logré un resultado de 125.

Años después, ya adulto, hice otro test que me dio como resultado en el CI manipulativo 98. (Esto ya es sospechoso, porque significa que entre dos tests diferentes la correlación era negativa)

¿Me había vuelto tonto? Sin embargo, años después, en la facultad de informática hice un examen de álgebra en el que saqué 7 sobre 10. Un resultado entre los 10 mejores de una clase de 60. Calculando que en España aproximadamente el 40% de los jóvenes van a la universidad, y de éstos la mitad van a ciencias, resulta que, al menos en álgebra, estoy entre el 4% más dotado de la población.

Pero si a un pobre necio como yo no son capaces los psicólogos de medirle su capacidad matemática, ya me diréis a Gauss o gente por el estilo, que sabían 100 veces más matemáticas que yo.

Por ejemplo, en el test que hice de adulto, la única pregunta matemática fue una regla de tres.

Ignoro cómo podrían adivinar la capacidad matemática de alguien como Gauss con una simple regla de tres.

Saludos cordiales.

Darck_mario
21/11/2006, 19:22
No,eso si...