Carlos Alberto Carcagno
30/09/2006, 11:43
LA PARADOJA DEL BARBERO DE RUSSELL
Russell Enuncia una propiedad: “Es hombre y no se afeita por sí mismo”.
Esta propiedad define un conjunto B: el conjunto de los hombres que no se afeitan por sí mismos.
Russell afirma que existe un barbero que afeita a todos los hombres que no se afeitan por sí mismos y solamente a tales hombres.
Si preguntamos si el barbero pertenece a B, surge la paradoja:
Si el barbero pertenece a B, entonces no se afeita por sí mismo; en consecuencia, es un hombre afeitado por el barbero, o sea, por sí mismo, con lo que no pertenece al conjunto B.
Si el barbero no pertenece a B, luego se afeita por sí mismo, con lo que es un hombre afeitado por el barbero y, por tanto, no se afeita por sí mismo, perteneciendo a B. O sea, en ambos casos el barbero pertenece y no pertenece al conjunto B, lo que es una tremebunda contradicción.
En este caso, el ejercicio de Russell lleva implícito un enunciado no expresado: “Todo hombre es afeitado”. Esto podría no ser cierto, pues algún hombre es libre de decidir que no será afeitado jamás.
Entre los hombres que son afeitados, podemos distinguir dos clases:
A : { es hombre y se afeita por sí mismo} y B : {es hombre y no se afeita por sí mismo}.
La unión de ambos conjuntos, A U B, es el conjunto que tiene la propiedad definitoria “es hombre y es afeitado”.
Para evitar la contradicción hay dos alternativas:
La primera, suponer que el barbero no es afeitado; pertenece a un conjunto con la propiedad “es hombre y no es afeitado”. Para que no surja contradicción en este caso, la propiedad definitoria de B debería ser “es hombre, es afeitado y no se afeita por sí mismo”. El conjunto A se definiría con “es hombre, es afeitado y se afeita por sí mismo”. Así, el barbero no pertenece a ninguno de los dos conjuntos A y B sin caer en contradicción.
La segunda opción contempla que el barbero sí se afeita. En este caso debe excluirse la expresión “y solamente a tales hombres”. Luego, el barbero no pertenece a B y sí pertenece a A.
Pero esta paradoja es una variación intuitiva de otra formal de tratamiento más delicado. El manejo intuitivo dado aquí al problema del barbero podría no ser efectivo en el caso formal y general.
Russell Enuncia una propiedad: “Es hombre y no se afeita por sí mismo”.
Esta propiedad define un conjunto B: el conjunto de los hombres que no se afeitan por sí mismos.
Russell afirma que existe un barbero que afeita a todos los hombres que no se afeitan por sí mismos y solamente a tales hombres.
Si preguntamos si el barbero pertenece a B, surge la paradoja:
Si el barbero pertenece a B, entonces no se afeita por sí mismo; en consecuencia, es un hombre afeitado por el barbero, o sea, por sí mismo, con lo que no pertenece al conjunto B.
Si el barbero no pertenece a B, luego se afeita por sí mismo, con lo que es un hombre afeitado por el barbero y, por tanto, no se afeita por sí mismo, perteneciendo a B. O sea, en ambos casos el barbero pertenece y no pertenece al conjunto B, lo que es una tremebunda contradicción.
En este caso, el ejercicio de Russell lleva implícito un enunciado no expresado: “Todo hombre es afeitado”. Esto podría no ser cierto, pues algún hombre es libre de decidir que no será afeitado jamás.
Entre los hombres que son afeitados, podemos distinguir dos clases:
A : { es hombre y se afeita por sí mismo} y B : {es hombre y no se afeita por sí mismo}.
La unión de ambos conjuntos, A U B, es el conjunto que tiene la propiedad definitoria “es hombre y es afeitado”.
Para evitar la contradicción hay dos alternativas:
La primera, suponer que el barbero no es afeitado; pertenece a un conjunto con la propiedad “es hombre y no es afeitado”. Para que no surja contradicción en este caso, la propiedad definitoria de B debería ser “es hombre, es afeitado y no se afeita por sí mismo”. El conjunto A se definiría con “es hombre, es afeitado y se afeita por sí mismo”. Así, el barbero no pertenece a ninguno de los dos conjuntos A y B sin caer en contradicción.
La segunda opción contempla que el barbero sí se afeita. En este caso debe excluirse la expresión “y solamente a tales hombres”. Luego, el barbero no pertenece a B y sí pertenece a A.
Pero esta paradoja es una variación intuitiva de otra formal de tratamiento más delicado. El manejo intuitivo dado aquí al problema del barbero podría no ser efectivo en el caso formal y general.