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Carlos Alberto Carcagno
30/09/2006, 11:35
EL SER INFINITAMENTE PLANO DE POINCARÉ

Jules Henri Poincaré

Este gran matemático inventó un ser que vivía en un universo de dos dimensiones, tanto un plano euclidiano como uno curvado en un espacio de más dimensiones (como una hoja de papel curvada en el espacio ordinario; asimilando una hoja de papel a un plano).

Para este ser, terraplanero o flatlander, el paso de un objeto de tres dimensiones por su universo (o su universo a través de un objeto tridimensional), sería visto por él como un fenómeno de evolución. Por ejemplo, el paso de una esfera por su plano comenzaría con un punto, luego una circunferencia que crecería hasta un máximo y luego decrecería hasta quedar reducida a un punto que desaparecería después. El paso de un toro (no el que tiene cuernos) sería más misterioso: Primero un punto, que se transformaría en un óvalo de Cialdini creciente y luego en una curva llamada lemniscata (como un ocho acostado), que se dividiría en dos óvalos y después en dos círculos separados; para luego repetir el proceso en orden inverso hasta el principio.

Este ejercicio de Poincaré tiene, a mi entender, varios defectos. Primero citaré los menos importantes, porque no hacen al problema principal:

1) Si el ser infinitamente plano fuera un punto geométrico, carecería totalmente de dimensiones y no podría estar vivo ni ver. Para que cualquier proceso físico, químico, biológico o de otra naturaleza ocurra, primero tiene que existir alguna asimetría (Principio de Curie), pues es esa asimetría la que provoca el fenómeno o reacción. En un objeto totalmente isótropo y homogéneo no puede ocurrir nada. ¿Conoce algo más isótropo y homogéneo que un punto geométrico?

2) Nos vemos forzados a considerar, entonces, que este ser es alguna forma plana diferente de un punto. Nuevamente, estamos ante la dificultad de que no tiene altura. Debemos admitir por necesidad que este ser tiene una vida basada únicamente en la geometría (pues tiene la altura de un punto). Por buena voluntad, admitamos que tal vida existe. Seguidamente, abordaremos el verdadero problema, que no se resuelve admitiendo un ejercicio de imaginación.

3) Hay un principio implícito en el ejercicio de Poincaré: tanto que el universo de este ser sea plano euclidiano o un plano curvo, su visión se hace según la línea recta que une el objeto a ser visto con este ser, en el primer caso, y según la geodesia entre él y el objeto, en el segundo. Esto es lógico, porque el terraplanero no podría ver fuera de su universo (de lo contrario vería el cuerpo) y la geodesia sería la curva más recta en su universo plano curvado.

Pero hay un inconveniente: suponiendo que su universo plano fuera transparente como lo es el aire para nosotros, si tanto este ser como su visión se encuentran dentro de su universo de dos dimensiones no podrá ver sino segmentos de rectas o de geodesias (ponga un papel de celofán con algo dibujado sobre un vidrio e intente ver algo distinto a una recta desde una posición que no esté por encima o por debajo del plano). Lo que Poincaré dice que vería el terraplanero sería verdad si este ser estuviera en un punto exterior a su plano de existencia (algo así como un viaje a otra dimensión o al más allá).

En el mismo orden de ideas, Edwin A. Abbott publicó, en 1.884, la novela Flatland (Planilandia); un libro muy recomendable en el que se hace una mordaz y graciosa crítica a la sociedad victoriana, a la vez de que se trata de una manera amena el problema matemático y el de la percepción humana de la realidad. Describe una sociedad de polígonos, en donde la escala social se mide por la cantidad de lados. Las personas comunes son cuadrados, los sacerdotes octógonos y los grandes empresarios decágonos. Un día aparece en su mundo un punto que se transforma en una circunferencia creciente hasta un límite, tras el cual la circunferencia se va reduciendo hasta un punto que luego desaparece. Toda la sociedad se asombra, pues la experiencia era que las circunferencias crecían con la edad, pero ellos habían visto todo el proceso en muy poco tiempo. En realidad, era una esfera que atravesaba su universo y ésta le habla a un cuadrado y lo transporta fuera de su mundo para que comprenda qué está pasando. Cuando vuelve de su experiencia mística, nadie cree lo que dice, aunque los octógonos ofrecían oraciones a la extraña aparición. Tanto este cuento, como el ejercicio de Poincaré admiten que las figuras planas se ven como tales en su universo, pero esto puede suceder únicamente desde una posición exterior al plano. Es más, en una superficie no curvada que fuera atravesada por una esfera, el único lugar en el que se vería una circunferencia evolucionando sería en una recta perpendicular al plano y pasante por el centro de la esfera. La visión desde cualquier otro ángulo daría por resultado elipses. En Planilandia nunca podría observarse más que un segmento de recta; los cuadrados y decágonos no se diferenciarían, a condición de que tuvieran igual diámetro.

En realidad, Poincaré y quienes le creyeron se dejaron engañar por la carga teórica de su propia experiencia tridimensional (pensaron lo que vería un ser de dos dimensiones, pero desde una perspectiva de tres, como la nuestra). LO QUE VEMOS DEPENDE DE LO QUE BUSCAMOS Y DE NUESTRA PROPIA NATURALEZA.

Santiago bolso
24/10/2006, 15:38
Hola, este relato yo lo había conocido a través de un episodio de la serie "Cosmos" de Carl Sagan y nunca me había cerrado. De hecho nos pasamos todo el día siguiente, con un amigo de la escuela que era fanático de la serie, tratando de imaginar la cuarta dimensión a la que nosotros viajaríamos. Gracias por su explicación, me ha sacado una duda de años. Hasta luego.

Darck_mario
24/10/2006, 16:50
:-P Yo lo conoci por la obra flatland....

kalkin
24/10/2006, 18:51
Se puede leer 'Planilandia' en formato .pdf aquí.....

http://www.matem.unam.mx/buendia/planilandia.pdf

Darck_mario
25/10/2006, 17:00
Se puede leer 'Planilandia' en formato .pdf aquí.....

http://www.matem.unam.mx/buendia/planilandia.pdf

Ya la habia leido,muy buena obra. Haria falta que trolls como paulino-alñfeon la leyeran.