Carlos Alberto Carcagno
30/09/2006, 11:32
LA MATEMÁTICA Y LA REALIDAD CONCRETA
La Matemática es una ciencia que maneja objetos ideales. Cuando decimos que un objeto matemático cumple una propiedad, lo hace; no hay otra alternativa ni fenómeno que pueda evitarlo. Pero cuando una teoría matemática se aplica a la realidad concreta, no siempre lo que es válido matemáticamente resulta correcto para los objetos reales.
En el muy valioso trabajo de Lia Oubiña, “Introducción a la Teoría de Conjuntos” (Ediciones Previas, EUdeBA, 1969), esta notable científica inicia al lector en el concepto de inducción completa, dando un par de ejemplos “prácticos”, con fin esencialmente didáctico. Entre ellos: “Supongamos tener 1.000.000 de lamparitas eléctricas alineadas y conectadas de tal forma que al encenderse una de ellas se enciende la siguiente. En un momento dado se quiere saber si todas las lamparitas están encendidas. La verificación directa sería indudablemente bastante trabajosa, pero el lector ya habrá encontrado otra forma de resolver el problema. Nos dirá: «Basta con observar si la primera lamparita está encendida».”
“En efecto, si la primera lamparita está encendida, como se sabe de antemano que al encenderse una se enciende la siguiente, se puede asegurar que la segunda está también encendida, luego, por la misma razón, está encendida la tercera, y así sucesivamente.”
Si las lamparitas fueran objetos matemáticos, el razonamiento de Lia Oubiña en el ejemplo sería inobjetable. Pero no lo son. Un técnico irreflexivo que aplicara este método a un caso real, no sería eficiente. Las lámparas pueden “quemarse”; luego, si una de ellas no enciende, las restantes en el sentido ascendente de la cadena no lo harán. Para saber si todas están encendidas, debería ver la última. En realidad, esto es más complejo aún; dibujé tres circuitos diferentes que cumplen con lo pedido, pero sólo en uno de ellos es correcto afirmar que todas las lámparas están encendidas viendo la última. En los otros dos, no es posible detectar una lámpara apagada sin observación directa o tele-control. Desde ya, ella no quería formar técnicos electricistas, sino dar ejemplos didácticos. Pero, al no poner los límites de validez a las técnicas o conceptos definidos, personas que no alcanzaron la madurez en las cosas aprendidas suelen cometer errores groseros, como productos de generalizaciones no adecuadas.
Veamos otro ejemplo: Una casa de trescientos cincuenta metros cuadrados es construida por un equipo de dieciseis obreros en nueve meses. ¿Cuántos obreros debo emplear para que la terminen en ocho meses? Respuesta: dieciocho obreros. Quizás sea cierto. Aplicando el mismo razonamiento, ¿es verdad que 4.320 obreros la levantan en un día? Evidentemente, no. No es posible que cuatro mil personas quepan en trescientos cincuenta metros cuadrados, y no sólo sería muy difícil coordinar el trabajo de una octava parte de esa cantidad de gente en tan poco espacio, sino que ciertos procesos requieren tiempo; como el fraguado del hormigón, que lleva veinte días. La regla de tres simple es útil donde el error del método es pequeño, en los lugares en donde la curva de la ley matemática que describe el fenómeno es “menos curva” (Pero esto no se enseña ni siquiera en la escuela media). El caso límite expuesto es tan ridículo que resulta indudablemente falso para cualquier persona. Pero le aseguro al lector que muchos planes económico – políticos, con mala intención o sin ella, están sustentados en falacias semejantes, aunque menos evidentes.
Consideramos a toda la recta como un conjunto abierto, por ser el complemento del conjunto vacío, que es un conjunto cerrado. Pero si asumimos a toda la recta como un conjunto cerrado, el conjunto vacío es abierto. Aquí no hay contradicción, porque partimos de puntos de vista diferentes y no simultáneos. Ahora bien, en la física se da el extraño caso de que un mismo haz de luz puede presentar propiedades ondulatorias o una naturaleza corpuscular (0 sea, continua y discontinua), según el experimento que se realice, y aún simultáneamente. ¿Hay contradicción aquí? ¡Ayuda, “san” Kurt Gödel! Lo mejor es hacer como el físico que dijo: “El lunes, el miércoles y el viernes, pienso que la luz es ondulatoria. El martes, el jueves y el sábado, pienso que es corpuscular. Y el domingo voy a misa.”
A fines del siglo diecinueve y principios del siglo veinte, existía todavía una visión mecanicista del universo. Después de Einstein, la electrodinámica engulló a la mecánica. Sin embargo, los conceptos fundamentales de la electrodinámica fueron definidos según un punto de vista mecanicista. La electrodinámica nació como hija de la mecánica; analizando un poco las definiciones de los conceptos básicos, podemos descubrir, con otros nombres, inercias, elasticidades, etc. Pero si admitimos que las propiedades de un subconjunto pueden no ser suficientes para describir el conjunto continente, ¿no deberíamos definir las nociones mecánicas a partir de las electrodinámicas?
Como espero haber mostrado con claridad, la aplicación de la matemática a la realidad sensible debe realizarse con sumo cuidado y muchísima reflexión. No es cuestión de utilizar métodos o hábitos mentales a la ligera, cuando fueron diseñados para objetos ideales, diferentes a aquellos a los cuales pretendemos describir mediante modelos abstractos.
La Matemática es una ciencia que maneja objetos ideales. Cuando decimos que un objeto matemático cumple una propiedad, lo hace; no hay otra alternativa ni fenómeno que pueda evitarlo. Pero cuando una teoría matemática se aplica a la realidad concreta, no siempre lo que es válido matemáticamente resulta correcto para los objetos reales.
En el muy valioso trabajo de Lia Oubiña, “Introducción a la Teoría de Conjuntos” (Ediciones Previas, EUdeBA, 1969), esta notable científica inicia al lector en el concepto de inducción completa, dando un par de ejemplos “prácticos”, con fin esencialmente didáctico. Entre ellos: “Supongamos tener 1.000.000 de lamparitas eléctricas alineadas y conectadas de tal forma que al encenderse una de ellas se enciende la siguiente. En un momento dado se quiere saber si todas las lamparitas están encendidas. La verificación directa sería indudablemente bastante trabajosa, pero el lector ya habrá encontrado otra forma de resolver el problema. Nos dirá: «Basta con observar si la primera lamparita está encendida».”
“En efecto, si la primera lamparita está encendida, como se sabe de antemano que al encenderse una se enciende la siguiente, se puede asegurar que la segunda está también encendida, luego, por la misma razón, está encendida la tercera, y así sucesivamente.”
Si las lamparitas fueran objetos matemáticos, el razonamiento de Lia Oubiña en el ejemplo sería inobjetable. Pero no lo son. Un técnico irreflexivo que aplicara este método a un caso real, no sería eficiente. Las lámparas pueden “quemarse”; luego, si una de ellas no enciende, las restantes en el sentido ascendente de la cadena no lo harán. Para saber si todas están encendidas, debería ver la última. En realidad, esto es más complejo aún; dibujé tres circuitos diferentes que cumplen con lo pedido, pero sólo en uno de ellos es correcto afirmar que todas las lámparas están encendidas viendo la última. En los otros dos, no es posible detectar una lámpara apagada sin observación directa o tele-control. Desde ya, ella no quería formar técnicos electricistas, sino dar ejemplos didácticos. Pero, al no poner los límites de validez a las técnicas o conceptos definidos, personas que no alcanzaron la madurez en las cosas aprendidas suelen cometer errores groseros, como productos de generalizaciones no adecuadas.
Veamos otro ejemplo: Una casa de trescientos cincuenta metros cuadrados es construida por un equipo de dieciseis obreros en nueve meses. ¿Cuántos obreros debo emplear para que la terminen en ocho meses? Respuesta: dieciocho obreros. Quizás sea cierto. Aplicando el mismo razonamiento, ¿es verdad que 4.320 obreros la levantan en un día? Evidentemente, no. No es posible que cuatro mil personas quepan en trescientos cincuenta metros cuadrados, y no sólo sería muy difícil coordinar el trabajo de una octava parte de esa cantidad de gente en tan poco espacio, sino que ciertos procesos requieren tiempo; como el fraguado del hormigón, que lleva veinte días. La regla de tres simple es útil donde el error del método es pequeño, en los lugares en donde la curva de la ley matemática que describe el fenómeno es “menos curva” (Pero esto no se enseña ni siquiera en la escuela media). El caso límite expuesto es tan ridículo que resulta indudablemente falso para cualquier persona. Pero le aseguro al lector que muchos planes económico – políticos, con mala intención o sin ella, están sustentados en falacias semejantes, aunque menos evidentes.
Consideramos a toda la recta como un conjunto abierto, por ser el complemento del conjunto vacío, que es un conjunto cerrado. Pero si asumimos a toda la recta como un conjunto cerrado, el conjunto vacío es abierto. Aquí no hay contradicción, porque partimos de puntos de vista diferentes y no simultáneos. Ahora bien, en la física se da el extraño caso de que un mismo haz de luz puede presentar propiedades ondulatorias o una naturaleza corpuscular (0 sea, continua y discontinua), según el experimento que se realice, y aún simultáneamente. ¿Hay contradicción aquí? ¡Ayuda, “san” Kurt Gödel! Lo mejor es hacer como el físico que dijo: “El lunes, el miércoles y el viernes, pienso que la luz es ondulatoria. El martes, el jueves y el sábado, pienso que es corpuscular. Y el domingo voy a misa.”
A fines del siglo diecinueve y principios del siglo veinte, existía todavía una visión mecanicista del universo. Después de Einstein, la electrodinámica engulló a la mecánica. Sin embargo, los conceptos fundamentales de la electrodinámica fueron definidos según un punto de vista mecanicista. La electrodinámica nació como hija de la mecánica; analizando un poco las definiciones de los conceptos básicos, podemos descubrir, con otros nombres, inercias, elasticidades, etc. Pero si admitimos que las propiedades de un subconjunto pueden no ser suficientes para describir el conjunto continente, ¿no deberíamos definir las nociones mecánicas a partir de las electrodinámicas?
Como espero haber mostrado con claridad, la aplicación de la matemática a la realidad sensible debe realizarse con sumo cuidado y muchísima reflexión. No es cuestión de utilizar métodos o hábitos mentales a la ligera, cuando fueron diseñados para objetos ideales, diferentes a aquellos a los cuales pretendemos describir mediante modelos abstractos.